Exercice 13

Calculez le plus petit commun multiple (PPCM) pour chacun des couples de nombres suivants :

1. \(5\) et \(20\)
2. \(8\) et \(12\)
3. \(5\) et \(8\)
4. \(3\) et \(4\)
5. \(8\) et \(30\)
6. \(6\) et \(14\)

Réponse

Les plus petits communs multiples sont : 20, 24, 40, 12, 120 et 42.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour calculer le plus petit commun multiple (PPCM) de chaque couple en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

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1. \(5\) et \(20\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(5 = 5\)
- \(20 = 2^2 \times 5\)

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur exposant maximum
Il faut prendre :
- Pour le facteur \(2\) : \(2^2\)
- Pour le facteur \(5\) : \(5^1\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM} = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20 \]

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2. \(8\) et \(12\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(8 = 2^3\)
- \(12 = 2^2 \times 3\)

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur exposant maximum
Il faut prendre :
- Pour le facteur \(2\) : \(2^3\) (car \(3\) est plus grand que \(2\))
- Pour le facteur \(3\) : \(3^1\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM} = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24 \]

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3. \(5\) et \(8\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(5 = 5\)
- \(8 = 2^3\)

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur exposant maximum
Il faut prendre :
- Pour le facteur \(5\) : \(5^1\)
- Pour le facteur \(2\) : \(2^3\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM} = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40 \]

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4. \(3\) et \(4\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(3 = 3\)
- \(4 = 2^2\)

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur exposant maximum
Il faut prendre :
- Pour le facteur \(3\) : \(3^1\)
- Pour le facteur \(2\) : \(2^2\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM} = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12 \]

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5. \(8\) et \(30\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(8 = 2^3\)
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur exposant maximum
Il faut prendre :
- Pour le facteur \(2\) : \(2^3\)
- Pour le facteur \(3\) : \(3^1\)
- Pour le facteur \(5\) : \(5^1\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM} = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120 \]

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6. \(6\) et \(14\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(14 = 2 \times 7\)

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur exposant maximum
Il faut prendre :
- Pour le facteur \(2\) : \(2^1\)
- Pour le facteur \(3\) : \(3^1\)
- Pour le facteur \(7\) : \(7^1\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM} = 2 \times 3 \times 7 = 42 \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(5\) et \(20\) : \(\boxed{20}\)
   
2. \(8\) et \(12\) : \(\boxed{24}\)
   
3. \(5\) et \(8\) : \(\boxed{40}\)
   
4. \(3\) et \(4\) : \(\boxed{12}\)
   
5. \(8\) et \(30\) : \(\boxed{120}\)
   
6. \(6\) et \(14\) : \(\boxed{42}\)

Chaque étape a permis de décomposer les nombres en facteurs premiers, puis de choisir les puissances maximales pour chaque facteur afin de déterminer le plus petit commun multiple.