Exercice
Déterminez le plus petit commun multiple (PPCM) des paires de nombres suivantes :
Voici les réponses finales :
• PPCM(6, 8) = 24
• PPCM(5, 10) = 10
• PPCM(6, 15) = 30
• PPCM(3, 5) = 15
• PPCM(12, 24) = 24
• PPCM(9, 15) = 45
Voici la correction détaillée pour déterminer le plus petit commun multiple (PPCM) des paires de nombres données.
Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3\)
Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur
exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour le facteur \(2\), on a \(2^1\) dans la décomposition de \(6\) et \(2^3\) dans celle de \(8\). Le plus grand exposant est \(3\).
- Pour le facteur \(3\), il apparaît
seulement dans \(6\) sous la forme
\(3^1\).
Étape 3 : Calculer le PPCM
\[
\text{PPCM}(6,8) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24.
\]
Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(5\) est un nombre premier.
- \(10 = 2 \times 5\)
Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur
exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(2\) : présent dans \(10\) (\(2^1\)).
- Pour \(5\) : présent dans \(5\) (\(5^1\)) et dans \(10\) (\(5^1\)).
Étape 3 : Calculer le PPCM
\[
\text{PPCM}(5,10) = 2^1 \times 5^1 = 2 \times 5 = 10.
\]
Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(15 = 3 \times 5\)
Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur
exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(2\) : présent dans \(6\) (\(2^1\)).
- Pour \(3\) : présent dans les deux
nombres (\(3^1\)).
- Pour \(5\) : présent dans \(15\) (\(5^1\)).
Étape 3 : Calculer le PPCM
\[
\text{PPCM}(6,15) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 =
30.
\]
Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(3\) et \(5\) sont tous deux nombres premiers.
Étape 2 : Identifier tous les facteurs
premiers
- Les facteurs sont \(3\) et \(5\).
Étape 3 : Calculer le PPCM
\[
\text{PPCM}(3,5) = 3 \times 5 = 15.
\]
Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times
3\)
- \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3
\times 3\)
Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur
exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(2\), le plus grand exposant
est \(3\) (car \(24\) a \(2^3\)).
- Pour \(3\), l’exposant est \(1\) dans les deux nombres.
Étape 3 : Calculer le PPCM
\[
\text{PPCM}(12,24) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24.
\]
Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(9 = 3 \times 3 = 3^2\)
- \(15 = 3 \times 5\)
Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur
exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(3\), le plus grand exposant
est \(2\) (car \(9\) a \(3^2\)).
- Pour \(5\), présent seulement dans
\(15\) (\(5^1\)).
Étape 3 : Calculer le PPCM
\[
\text{PPCM}(9,15) = 3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45.
\]
Cette méthode via la décomposition en facteurs premiers permet de trouver le plus petit commun multiple de manière systématique et efficace.