Exercice 12

Exercice

Déterminez le plus petit commun multiple (PPCM) des paires de nombres suivantes :

  1. \(6\) et \(8\)
  2. \(5\) et \(10\)
  3. \(6\) et \(15\)
  4. \(3\) et \(5\)
  5. \(12\) et \(24\)
  6. \(9\) et \(15\)

Réponse

Voici les réponses finales :

• PPCM(6, 8) = 24
• PPCM(5, 10) = 10
• PPCM(6, 15) = 30
• PPCM(3, 5) = 15
• PPCM(12, 24) = 24
• PPCM(9, 15) = 45

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour déterminer le plus petit commun multiple (PPCM) des paires de nombres données.


1. Trouver le PPCM de \(6\) et \(8\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3\)

Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour le facteur \(2\), on a \(2^1\) dans la décomposition de \(6\) et \(2^3\) dans celle de \(8\). Le plus grand exposant est \(3\).
- Pour le facteur \(3\), il apparaît seulement dans \(6\) sous la forme \(3^1\).

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM}(6,8) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24. \]


2. Trouver le PPCM de \(5\) et \(10\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(5\) est un nombre premier.
- \(10 = 2 \times 5\)

Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(2\) : présent dans \(10\) (\(2^1\)).
- Pour \(5\) : présent dans \(5\) (\(5^1\)) et dans \(10\) (\(5^1\)).

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM}(5,10) = 2^1 \times 5^1 = 2 \times 5 = 10. \]


3. Trouver le PPCM de \(6\) et \(15\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(15 = 3 \times 5\)

Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(2\) : présent dans \(6\) (\(2^1\)).
- Pour \(3\) : présent dans les deux nombres (\(3^1\)).
- Pour \(5\) : présent dans \(15\) (\(5^1\)).

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM}(6,15) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30. \]


4. Trouver le PPCM de \(3\) et \(5\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(3\) et \(5\) sont tous deux nombres premiers.

Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers
- Les facteurs sont \(3\) et \(5\).

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM}(3,5) = 3 \times 5 = 15. \]


5. Trouver le PPCM de \(12\) et \(24\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)
- \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3\)

Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(2\), le plus grand exposant est \(3\) (car \(24\) a \(2^3\)).
- Pour \(3\), l’exposant est \(1\) dans les deux nombres.

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM}(12,24) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24. \]


6. Trouver le PPCM de \(9\) et \(15\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers
- \(9 = 3 \times 3 = 3^2\)
- \(15 = 3 \times 5\)

Étape 2 : Identifier tous les facteurs premiers avec leur exposant le plus grand d’une décomposition
- Pour \(3\), le plus grand exposant est \(2\) (car \(9\) a \(3^2\)).
- Pour \(5\), présent seulement dans \(15\) (\(5^1\)).

Étape 3 : Calculer le PPCM
\[ \text{PPCM}(9,15) = 3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45. \]


Récapitulatif des réponses
  1. Le PPCM de \(6\) et \(8\) est \(24\).
  2. Le PPCM de \(5\) et \(10\) est \(10\).
  3. Le PPCM de \(6\) et \(15\) est \(30\).
  4. Le PPCM de \(3\) et \(5\) est \(15\).
  5. Le PPCM de \(12\) et \(24\) est \(24\).
  6. Le PPCM de \(9\) et \(15\) est \(45\).

Cette méthode via la décomposition en facteurs premiers permet de trouver le plus petit commun multiple de manière systématique et efficace.

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