Exercice 11

Soit les deux exercices suivants :

1. Complétez le tableau en inscrivant dans chaque case le plus petit multiple commun des deux nombres correspondants. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{ppmc} & 9 & 12 & 20 \\ \hline 5 & & & \\ \hline 10 & & & \\ \hline 14 & & & \\ \hline \end{array} \]

2. Complétez le tableau en inscrivant dans chaque case le plus grand diviseur commun des deux nombres correspondants. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{pgdc} & 9 & 12 & 20 \\ \hline 5 & & & \\ \hline 10 & & & \\ \hline 14 & & & \\ \hline \end{array} \]

Réponse

Réponse courte :

Exercice a) – PPMC : • ppmc(5,9) = 45, ppmc(5,12) = 60, ppmc(5,20) = 20
• ppmc(10,9) = 90, ppmc(10,12) = 60, ppmc(10,20) = 20
• ppmc(14,9) = 126, ppmc(14,12) = 84, ppmc(14,20) = 140

Exercice b) – PGDC : • pgdc(5,9) = 1, pgdc(5,12) = 1, pgdc(5,20) = 5
• pgdc(10,9) = 1, pgdc(10,12) = 2, pgdc(10,20) = 10
• pgdc(14,9) = 1, pgdc(14,12) = 2, pgdc(14,20) = 2

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre les deux exercices en suivant une méthode pas à pas pour chaque case des tableaux.

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Exercice a) – Calcul du Plus Petit Multiple Commun (ppmc)

Le plus petit multiple commun de deux nombres \(a\) et \(b\) est le plus petit nombre qui est un multiple de \(a\) et de \(b\). On peut le calculer à l’aide de la formule :

\[ \text{ppmc}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{pgcd}(a,b)} \]

où \(\text{pgcd}(a,b)\) est le plus grand diviseur commun de \(a\) et \(b\).

Calcul case par case

1. Pour la case avec \(5\) et \(9\) :

   • On vérifie d’abord le pgcd. Les diviseurs de \(5\) sont \(1\) et \(5\) et ceux de \(9\) sont \(1\), \(3\) et \(9\).
     \(\text{pgcd}(5,9) = 1\).
   • On calcule ensuite : \[ \text{ppmc}(5,9) = \frac{5 \times 9}{1} = 45. \]

2. Pour la case avec \(5\) et \(12\) :

   • \(5\) est premier et \(12 = 2^2 \times 3\).
     \(\text{pgcd}(5,12) = 1\).
   • Donc : \[ \text{ppmc}(5,12) = \frac{5 \times 12}{1} = 60. \]

3. Pour la case avec \(5\) et \(20\) :

   • \(20 = 2^2 \times 5\).
     Les diviseurs communs de \(5\) et \(20\) incluent \(5\) donc \(\text{pgcd}(5,20) = 5\).
   • On obtient : \[ \text{ppmc}(5,20) = \frac{5 \times 20}{5} = 20. \]

4. Pour la case avec \(10\) et \(9\) :

   • \(10 = 2 \times 5\) et \(9 = 3^2\).
     Aucun diviseur commun sauf \(1\), donc \(\text{pgcd}(10,9) = 1\).
   • Ainsi : \[ \text{ppmc}(10,9) = \frac{10 \times 9}{1} = 90. \]

5. Pour la case avec \(10\) et \(12\) :

   • \(10 = 2 \times 5\) et \(12 = 2^2 \times 3\).
     Le seul diviseur commun est \(2\), donc \(\text{pgcd}(10,12) = 2\).
   • Alors : \[ \text{ppmc}(10,12) = \frac{10 \times 12}{2} = \frac{120}{2} = 60. \]

6. Pour la case avec \(10\) et \(20\) :

   • \(20 = 2 \times 10\), donc \(10\) divise \(20\) et \(\text{pgcd}(10,20)=10\).
   • Ainsi : \[ \text{ppmc}(10,20) = \frac{10 \times 20}{10} = 20. \]

7. Pour la case avec \(14\) et \(9\) :

   • \(14 = 2 \times 7\) et \(9 = 3^2\).
     Ils n’ont aucun diviseur commun autre que \(1\) : \(\text{pgcd}(14,9)=1\).
   • Donc : \[ \text{ppmc}(14,9) = \frac{14 \times 9}{1} = 126. \]

8. Pour la case avec \(14\) et \(12\) :

   • \(14 = 2 \times 7\) et \(12 = 2^2 \times 3\).
     Le seul diviseur commun est \(2\), donc \(\text{pgcd}(14,12) = 2\).
   • On calcule : \[ \text{ppmc}(14,12) = \frac{14 \times 12}{2} = \frac{168}{2} = 84. \]

9. Pour la case avec \(14\) et \(20\) :

   • \(14 = 2 \times 7\) et \(20 = 2^2 \times 5\).
     Le seul diviseur commun est \(2\) donc \(\text{pgcd}(14,20)=2\).
   • Ainsi : \[ \text{ppmc}(14,20) = \frac{14 \times 20}{2} = \frac{280}{2} = 140. \]

Tableau final pour l’exercice a)

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{ppmc} & 9 & 12 & 20 \\ \hline 5 & 45 & 60 & 20 \\ \hline 10 & 90 & 60 & 20 \\ \hline 14 & 126 & 84 & 140 \\ \hline \end{array} \]

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Exercice b) – Calcul du Plus Grand Diviseur Commun (pgdc)

Le plus grand diviseur commun de deux nombres est le plus grand nombre qui divise ces deux nombres sans reste.

Calcul case par case

1. Pour la case avec \(5\) et \(9\) :

   • Les diviseurs de \(5\) sont \(1\) et \(5\).
     Les diviseurs de \(9\) sont \(1\), \(3\) et \(9\).
     Le seul diviseur commun est \(1\).
     \(\text{pgdc}(5,9) = 1\).

2. Pour la case avec \(5\) et \(12\) :

   • Diviseurs de \(5\) : \(1\), \(5\).
     Diviseurs de \(12\) : \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(12\).
     Le seul diviseur commun est \(1\).
     \(\text{pgdc}(5,12)=1\).

3. Pour la case avec \(5\) et \(20\) :

   • \(20 = 2^2 \times 5\).
     Le diviseur commun le plus grand est \(5\) (car \(5\) divise \(20\)).
     \(\text{pgdc}(5,20)=5\).

4. Pour la case avec \(10\) et \(9\) :

   • \(10 = 2 \times 5\) et \(9 = 3^2\).
     Aucun diviseur commun en dehors de \(1\).
     \(\text{pgdc}(10,9)=1\).

5. Pour la case avec \(10\) et \(12\) :

   • \(10 = 2 \times 5\) et \(12 = 2^2 \times 3\).
     Le nombre \(2\) est le plus grand diviseur commun.
     \(\text{pgdc}(10,12)=2\).

6. Pour la case avec \(10\) et \(20\) :

   • \(20 = 2 \times 10\).
     Comme \(10\) divise \(20\), le plus grand diviseur commun est \(10\).
     \(\text{pgdc}(10,20)=10\).

7. Pour la case avec \(14\) et \(9\) :

   • \(14 = 2 \times 7\) et \(9 = 3^2\).
     Aucun diviseur commun en dehors de \(1\).
     \(\text{pgdc}(14,9)=1\).

8. Pour la case avec \(14\) et \(12\) :

   • \(14 = 2 \times 7\) et \(12 = 2^2 \times 3\).
     Le plus grand diviseur commun est \(2\).
     \(\text{pgdc}(14,12)=2\).

9. Pour la case avec \(14\) et \(20\) :

   • \(14 = 2 \times 7\) et \(20 = 2^2 \times 5\).
     Le plus grand diviseur commun est \(2\) (seul le \(2\) apparaît dans les deux décompositions).
     \(\text{pgdc}(14,20)=2\).

Tableau final pour l’exercice b)

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{pgdc} & 9 & 12 & 20 \\ \hline 5 & 1 & 1 & 5 \\ \hline 10 & 1 & 2 & 10 \\ \hline 14 & 1 & 2 & 2 \\ \hline \end{array} \]

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Récapitulatif

1. Exercice a) – PPMC :

   \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{ppmc} & 9 & 12 & 20 \\ \hline 5 & 45 & 60 & 20 \\ \hline 10 & 90 & 60 & 20 \\ \hline 14 & 126 & 84 & 140 \\ \hline \end{array} \]

2. Exercice b) – PGDC :

   \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{pgdc} & 9 & 12 & 20 \\ \hline 5 & 1 & 1 & 5 \\ \hline 10 & 1 & 2 & 10 \\ \hline 14 & 1 & 2 & 2 \\ \hline \end{array} \]

Chaque étape s’appuie sur la décomposition en facteurs premiers ou sur l’observation des diviseurs communs pour déterminer respectivement le ppmc et le pgdc. Ces méthodes permettent de remplir correctement les deux tableaux.