Exercice 10

Exercice

Un architecte souhaite installer des lampadaires le long du pourtour d’un parc rectangulaire de longueur \(12,6\,\text{m}\) et de largeur \(8,4\,\text{m}\).

Chaque sommet du rectangle comporte un lampadaire, et la distance entre deux lampadaires consécutifs doit être identique et exprimable en nombre entier de centimètres.

1. Déterminer la plus grande distance possible entre deux lampadaires.

2. Calculer le nombre total de lampadaires nécessaires pour entourer le parc.

Réponse

1. 420 cm
   
2. 10 lampadaires.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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Énoncé

Un architecte souhaite installer des lampadaires le long du pourtour d’un parc rectangulaire dont la longueur est \(12,6\,\text{m}\) et la largeur est \(8,4\,\text{m}\).

On veut que : - Chaque sommet du rectangle comporte un lampadaire. - La distance entre deux lampadaires consécutifs soit identique et exprimable en nombre entier de centimètres.

Nous devons déterminer :

1. La plus grande distance possible entre deux lampadaires (en centimètres).

2. Le nombre total de lampadaires nécessaires pour entourer le parc.

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Étape 1 : Conversion des dimensions en centimètres

Il est plus simple de travailler en centimètres. Sachant que \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\), on trouve :

• Longueur du rectangle :
  \[ 12,6\,\text{m} = 12,6 \times 100 = 1260\,\text{cm} \]
• Largeur du rectangle :
  \[ 8,4\,\text{m} = 8,4 \times 100 = 840\,\text{cm} \]

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Étape 2 : Déterminer la distance uniforme entre les lampadaires

Pour que chaque coin du rectangle comporte un lampadaire, la distance choisie doit permettre de diviser exactement chacun des côtés. Autrement dit, la distance \(d\) (exprimée en centimètres) doit diviser exactement :

• La longueur \(1260\,\text{cm}\) (donc \(1260 \div d\) doit être un entier).
• La largeur \(840\,\text{cm}\) (donc \(840 \div d\) doit être un entier).

Ainsi, \(d\) doit être un diviseur commun de \(1260\) et \(840\). Pour obtenir la plus grande distance possible, nous cherchons le plus grand diviseur commun (PGCD) de \(1260\) et \(840\).

Calcul du PGCD de \(1260\) et \(840\)

Utilisons l’algorithme d’Euclide :

1. Divisons \(1260\) par \(840\) : \[ 1260 = 840 \times 1 + 420 \]
2. Le reste est \(420\). On calcule maintenant le PGCD de \(840\) et \(420\) : \[ 840 = 420 \times 2 + 0 \] Le reste est \(0\), donc le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire \(420\).

Donc, la plus grande distance possible est : \[ d = 420\,\text{cm} \]

Réponse a) : La plus grande distance possible entre deux lampadaires est de 420 cm.

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Étape 3 : Calculer le nombre total de lampadaires nécessaires

Le pourtour du parc est le périmètre du rectangle. On calcule d’abord ce périmètre.

Calcul du périmètre

Le périmètre \(P\) d’un rectangle se calcule par : \[ P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \] En remplaçant par les valeurs en centimètres : \[ P = 2 \times (1260 + 840) = 2 \times 2100 = 4200\,\text{cm} \]

Placement des lampadaires le long du pourtour

La distance entre deux lampadaires consécutifs étant \(420\,\text{cm}\), le nombre d’intervalles le long du périmètre est : \[ \text{Nombre d'intervalles} = \frac{4200}{420} = 10 \]

Comme le parc est fermé (le premier lampadaire est aussi le dernier lorsqu’on fait le tour complet), le nombre de lampadaires nécessaires est égal au nombre d’intervalles.

Réponse b) : Le nombre total de lampadaires nécessaires est de 10 lampadaires.

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Récapitulatif des réponses

• a) La plus grande distance possible entre deux lampadaires est \(420\,\text{cm}\) (soit \(4,2\,\text{m}\)).
• b) Le nombre total de lampadaires nécessaires pour entourer le parc est \(10\).

Cette démarche permet de comprendre comment utiliser le PGCD pour trouver une distance commune qui divise exactement les côtés d’un rectangle, et ensuite comment utiliser la notion de périmètre pour déterminer le nombre d’éléments espacés régulièrement le long d’un contour.