Exercice 9

Un parallélépipède rectangle a pour dimensions \(72 \, \text{cm}\), \(96 \, \text{cm}\) et \(120 \, \text{cm}\).
Il doit être entièrement découpé en cubes identiques, dont l’arête est supérieure à \(5 \, \text{cm}\), sans perte.
Déterminez le nombre de solutions possibles.

Réponse

La réponse est : 4 solutions possibles.

Corrigé détaillé

Nous voulons découper un parallélépipède rectangle de dimensions
\[ 72 \, \text{cm}, \; 96 \, \text{cm}, \; 120 \, \text{cm} \] en cubes identiques de côté \(s\) tels que :

1. \(s\) soit strictement supérieur à \(5 \, \text{cm}\),
2. Les dimensions du parallélépipède soient exactement divisibles par \(s\) (c’est-à-dire sans reste).

Étape 1 : Déterminer les diviseurs communs

Pour que le cube se place parfaitement dans le parallélépipède, la longueur \(s\) doit être un diviseur commun des trois dimensions. Cela revient à rechercher tous les diviseurs du plus grand diviseur commun (PGCD) de \(72\), \(96\) et \(120\).

Commençons par trouver le PGCD :

• On remarque que \[ \gcd(72,96)=24. \]
• Ensuite, \[ \gcd(24,120)=24. \]

Donc, le PGCD de \(72\), \(96\) et \(120\) est \(24\). Ainsi, les diviseurs communs de ces trois nombres sont exactement les diviseurs de \(24\).

Étape 2 : Lister les diviseurs de 24

Les diviseurs de \(24\) sont : \[ 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 6, \; 8, \; 12, \; 24. \]

Étape 3 : Appliquer la condition sur la longueur d’arête

On doit choisir ceux qui sont supérieurs à \(5 \, \text{cm}\). D’après la liste, les valeurs possibles pour \(s\) sont : \[ 6, \; 8, \; 12, \; 24. \]

Étape 4 : Vérifier que chaque valeur divise bien les dimensions

• Pour \(s = 6\) cm : \[ \frac{72}{6} = 12, \quad \frac{96}{6} = 16, \quad \frac{120}{6} = 20. \]
• Pour \(s = 8\) cm : \[ \frac{72}{8} = 9, \quad \frac{96}{8} = 12, \quad \frac{120}{8} = 15. \]
• Pour \(s = 12\) cm : \[ \frac{72}{12} = 6, \quad \frac{96}{12} = 8, \quad \frac{120}{12} = 10. \]
• Pour \(s = 24\) cm : \[ \frac{72}{24} = 3, \quad \frac{96}{24} = 4, \quad \frac{120}{24} = 5. \]

Dans chacun de ces cas, les divisions donnent des nombres entiers, ce qui confirme que la découpe est possible sans perte.

Conclusion

Le nombre de solutions possibles (c’est-à-dire le nombre de valeurs différentes de \(s\) qui respectent toutes les conditions) est \(4\).

La réponse finale est donc : 4 solutions possibles.