Exercice 8

Exercice

Une boulangère possède \(84\) croissants et \(126\) muffins.

1. Peut-elle composer \(7\) plateaux identiques en utilisant l’ensemble de ses produits ?
2. Peut-elle composer \(5\) plateaux identiques en utilisant l’ensemble de ses produits ?
3. Quel est le plus grand nombre de plateaux identiques qu’elle peut composer sans qu’il reste de produits ? Indiquez le nombre de produits que comptera chaque plateau.

Réponse

1. Oui, 7 plateaux identiques sont possibles (12 croissants et 18 muffins par plateau).
   
2. Non, il est impossible de répartir exactement tous les produits en 5 plateaux.
   
3. Le plus grand nombre de plateaux identiques est 42, avec 2 croissants et 3 muffins par plateau.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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Énoncé

Une boulangère possède \(84\) croissants et \(126\) muffins.

1. Peut-elle composer \(7\) plateaux identiques en utilisant l’ensemble de ses produits ?
2. Peut-elle composer \(5\) plateaux identiques en utilisant l’ensemble de ses produits ?
3. Quel est le plus grand nombre de plateaux identiques qu’elle peut composer sans qu’il reste de produits ? Indiquez le nombre de produits que comptera chaque plateau.

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Correction

1. Composition de 7 plateaux identiques

Pour savoir si la boulangère peut composer \(7\) plateaux identiques en utilisant tous ses produits, il faut vérifier que le nombre de croissants et de muffins se divise exactement par \(7\).

• Croissants : \[ \frac{84}{7} = 12 \] Chaque plateau recevra \(12\) croissants.

• Muffins : \[ \frac{126}{7} = 18 \] Chaque plateau recevra \(18\) muffins.

Puisqu’on obtient des nombres entiers pour les deux types de produits, la réponse est oui.
Conclusion : Il est possible de composer \(7\) plateaux identiques, chacun contenant \(12\) croissants et \(18\) muffins.

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2. Composition de 5 plateaux identiques

De même, vérifier si on peut former \(5\) plateaux identiques :

• Croissants : \[ \frac{84}{5} = 16,8 \] Le résultat n’est pas un nombre entier.

• Muffins : \[ \frac{126}{5} = 25,2 \] Ce résultat n’est pas un nombre entier non plus.

Comme les divisions ne donnent pas de nombres entiers, on ne peut pas répartir exactement tous les produits en \(5\) plateaux identiques.

Conclusion : Il n’est pas possible de composer \(5\) plateaux identiques.

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3. Le plus grand nombre de plateaux identiques possibles

Pour répartir tous les produits sans rien laisser, le nombre de plateaux doit être un diviseur commun à \(84\) et \(126\). Nous cherchons donc le plus grand commun diviseur (PGCD) de \(84\) et \(126\).

• Décomposition en facteurs premiers : \[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \] \[ 126 = 2 \times 3^2 \times 7 \]

• Trouvons le PGCD :

  Pour chaque facteur, on prend la plus petite puissance commune :

  • Pour \(2\) : min(\(2^2, 2^1\)) = \(2^1 = 2\)
  • Pour \(3\) : min(\(3^1, 3^2\)) = \(3^1 = 3\)
  • Pour \(7\) : \(\min(7^1,7^1)=7\)

  On multiplie ces facteurs : \[ PGCD = 2 \times 3 \times 7 = 42 \]

Le plus grand nombre de plateaux identiques est donc \(42\).

• Répartition des produits par plateau :
  • Nombre de croissants par plateau : \[ \frac{84}{42} = 2 \]
  • Nombre de muffins par plateau : \[ \frac{126}{42} = 3 \]

Chaque plateau contiendra donc \(2\) croissants et \(3\) muffins, soit \(2 + 3 = 5\) produits par plateau.

Conclusion : La boulangère peut composer au maximum \(42\) plateaux identiques sans rien laisser, et chaque plateau comportera \(2\) croissants et \(3\) muffins.

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Résumé des réponses

1. Oui, en composant \(7\) plateaux avec chacun \(12\) croissants et \(18\) muffins.
2. Non, il n’est pas possible de composer \(5\) plateaux identiques.
3. Le plus grand nombre de plateaux identiques est \(42\), avec \(2\) croissants et \(3\) muffins par plateau.