Exercice 7

Exercice

À Lyon, trois tramways modernes circulent depuis la Place Bellecour. Leurs durées de parcours sont respectivement de \[ 45\ \text{minutes},\quad 15\ \text{minutes},\quad 30\ \text{minutes}. \]

À 14 h 15, un touriste français, qui se trouve sur le quai après une visite guidée du centre historique, se souvient avoir photographié ces tramways le matin au même endroit.

Déterminez l’heure à laquelle les trois tramways se sont alignés pour la dernière fois avant 14 h 15.

Réponse

Les trois tramways se sont synchronisés à 12 h 45.

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer l’instant où les trois tramways, qui circulent respectivement avec des durées de parcours de \(45\) minutes, \(15\) minutes et \(30\) minutes, sont passés simultanément par la Place Bellecour.

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Étape 1 : Trouver la synchronisation

Un tramway revient à la station à intervalles réguliers égaux à la durée de son parcours.
- Le premier tramway revient toutes les \(45\) minutes.
- Le deuxième revient toutes les \(15\) minutes.
- Le troisième revient toutes les \(30\) minutes.

Pour que les trois tramways passent exactement en même temps, ils doivent être tous arrivés après un certain nombre de minutes qui est commun aux trois intervalles. Pour cela, il faut déterminer le plus petit multiple commun (le PPCM) de \(45\), \(15\) et \(30\).

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Étape 2 : Calcul du Plus Petit Multiple Commun (PPCM)

1. Décomposition en facteurs premiers
   • \(15 = 3 \times 5\)
     
   • \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
     
   • \(45 = 3^2 \times 5\)
2. Choix des facteurs avec la plus grande puissance
   Pour chaque facteur premier, on retient la plus grande puissance qui apparaît parmi les décompositions :
   • Pour le facteur \(2\) : il apparaît sous la forme \(2^1\) dans \(30\).
     
   • Pour le facteur \(3\) : la plus grande puissance est \(3^2\) dans \(45\).
     
   • Pour le facteur \(5\) : il apparaît sous la forme \(5^1\) partout.
3. Calcul du PPCM
   On multiplie ces facteurs :
   \[ \text{PPCM} = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90\ \text{minutes}. \]

Ainsi, les trois tramways se synchronisent toutes les \(90\) minutes.

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Étape 3 : Déterminer l’heure de la dernière synchronisation avant 14 h 15

Nous savons que les tramways sont alignés à des intervalles de \(90\) minutes. Le touriste se trouve à la station à \(14\) h \(15\) et on nous demande de trouver la dernière synchronisation avant cet instant.

• La synchronisation la plus récente avant \(14\) h \(15\) se trouve en soustrayant \(90\) minutes à \(14\) h \(15\).

Calculons : \[ 14\text{ h }15 - 1\text{ h }30 = 14\text{ h }15 - 1\text{ h }30 = 12\text{ h }45. \]

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Conclusion

Les trois tramways se sont alignés pour la dernière fois avant \(14\) h \(15\) à \(\boxed{12\text{ h }45}\).