Exercice 6

La cloche du village sonne toutes les 5 heures et celle de l’école toutes les 8 heures. Elles ont sonné ensemble le 15 mars à 12 h 45. Déterminez la prochaine date et heure auxquelles elles sonneront simultanément.

Réponse

Les cloches sonneront ensemble le 17 mars à 04 h 45.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée du problème :

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Énoncé

On sait que :

• La cloche du village sonne toutes les 5 heures.
• La cloche de l’école sonne toutes les 8 heures.
• Elles sonnent toutes les deux en même temps le 15 mars à 12 h 45.

Nous cherchons la prochaine fois où elles sonneront simultanément.

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Étape 1 : Identifier le moment commun de sonnerie

Pour que les deux cloches sonnent en même temps, il faut trouver un nombre d’heures \(t\) qui soit multiple à la fois de 5 et de 8. Autrement dit, \(t\) doit être un multiple commun de 5 et 8.

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Étape 2 : Calcul du plus petit multiple commun (PPCM)

Le moment le plus rapproché où elles se sonneront ensemble correspond au plus petit multiple commun (PPCM) de 5 et 8. Calculons-le :

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 5 = 5 \quad \text{(5 est un nombre premier)} \] \[ 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \]

2. Calcul du PPCM :
   Le PPCM se trouve en prenant chaque facteur premier à la plus grande puissance rencontrée dans les décompositions :

   • Pour 2 : la plus grande puissance est \(2^3\).
   • Pour 5 : la puissance \(5^1\).

   Donc, \[ \text{PPCM}(5, 8) = 2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40 \]

Ainsi, \(t = 40\) heures.

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Étape 3 : Calcul de la prochaine sonnerie

Les cloches sonnent simultanément 40 heures après le 15 mars à 12 h 45.

1. Conversion des 40 heures :
   40 heures correspondent à : \[ 40 \text{ heures} = 24 \text{ heures} + 16 \text{ heures} \]
   • \(24\) heures équivalent à 1 jour.
   • Les 16 heures restantes seront additionnées au temps du jour suivant.
2. Application à la date et heure initiales :
   • Le 15 mars à 12 h 45 + 24 heures = le 16 mars à 12 h 45.
   • Ensuite, on ajoute 16 heures supplémentaires :
   Calculons l’ajout des 16 heures :
   • À partir de 12 h 45, ajouter 12 heures donne 00 h 45 du jour suivant, soit le 17 mars à 00 h 45.
   • Il reste alors \(16 - 12 = 4\) heures à ajouter.
   Ainsi, 00 h 45 + 4 heures = 04 h 45.

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Conclusion

Les cloches sonneront simultanément pour la prochaine fois le :

\[ \boxed{\text{17 mars à 04 h 45}} \]

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Cette démarche montre comment utiliser le concept de plus petit multiple commun pour déterminer le moment où deux événements répétés se retrouvent ensemble.