Exercice 5

Calculez le plus grand diviseur commun des nombres suivants :

1. 150 et 225
   
2. 84 et 108
   
3. 36, 48 et 72
   
4. 126 et 210
   
5. 96 et 144
   
6. 240 et 315

Réponse

Réponses :
a) 75
b) 12
c) 12
d) 42
e) 48
f) 15

Corrigé détaillé

Nous allons trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) pour chaque ensemble de nombres en décomposant chacun en facteurs premiers. Le PGCD est le produit de tous les facteurs premiers communs, chacun élevé à la plus petite puissance avec laquelle il apparaît dans les décompositions.

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a) PGCD de 150 et 225

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \]
   \[ 225 = 3^2 \times 5^2 \]

2. Identifier les facteurs communs avec leurs plus petites puissances :

   • Pour le facteur \(3\), on a \(3^1\) dans 150 et \(3^2\) dans 225. On prend donc \(3^1\).
     
   • Pour le facteur \(5\), on a \(5^2\) dans les deux nombres.

3. Calcul du PGCD :
   \[ \text{PGCD} = 3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75 \]

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b) PGCD de 84 et 108

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \]
   \[ 108 = 2^2 \times 3^3 \]

2. Identifier les facteurs communs avec leurs plus petites puissances :

   • Pour le facteur \(2\), on a \(2^2\) dans les deux nombres.
     
   • Pour le facteur \(3\), on a \(3^1\) dans 84 et \(3^3\) dans 108. On prend donc \(3^1\).

3. Calcul du PGCD :
   \[ \text{PGCD} = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \]

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c) PGCD de 36, 48 et 72

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 36 = 2^2 \times 3^2 \]
   \[ 48 = 2^4 \times 3 \]
   \[ 72 = 2^3 \times 3^2 \]

2. Identifier les facteurs communs avec leurs plus petites puissances :

   • Pour le facteur \(2\), les exposants sont 2, 4 et 3 respectivement. On prend le minimum : \(2^2\).
     
   • Pour le facteur \(3\), les exposants sont 2, 1 et 2 respectivement. On prend le minimum : \(3^1\).

3. Calcul du PGCD :
   \[ \text{PGCD} = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \]

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d) PGCD de 126 et 210

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 126 = 2 \times 3^2 \times 7 \]
   \[ 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \]

2. Identifier les facteurs communs avec leurs plus petites puissances :

   • Facteur \(2\) : présent une fois dans chacun.
     
   • Facteur \(3\) : présent \(3^1\) dans 210 et \(3^2\) dans 126, on prend donc \(3^1\).
     
   • Facteur \(7\) : présent une fois dans chacun.

3. Calcul du PGCD :
   \[ \text{PGCD} = 2 \times 3 \times 7 = 42 \]

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e) PGCD de 96 et 144

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 96 = 2^5 \times 3 \]
   \[ 144 = 2^4 \times 3^2 \]

2. Identifier les facteurs communs avec leurs plus petites puissances :

   • Pour le facteur \(2\), les exposants sont 5 et 4. On prend le minimum : \(2^4\).
     
   • Pour le facteur \(3\), les exposants sont 1 et 2. On prend le minimum : \(3^1\).

3. Calcul du PGCD :
   \[ \text{PGCD} = 2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48 \]

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f) PGCD de 240 et 315

1. Décomposition en facteurs premiers :
   \[ 240 = 2^4 \times 3 \times 5 \]
   Pour 315, notons que :
   \[ 315 = 3^2 \times 5 \times 7 \]

2. Identifier les facteurs communs avec leurs plus petites puissances :

   • Le facteur \(2\) n’est présent que dans 240, il n’est donc pas commun.
     
   • Pour le facteur \(3\), on a \(3^1\) dans 240 et \(3^2\) dans 315. On prend \(3^1\).
     
   • Pour le facteur \(5\), présent une fois dans chaque décomposition.

3. Calcul du PGCD :
   \[ \text{PGCD} = 3 \times 5 = 15 \]

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Résumé des réponses

• 1. Le PGCD de 150 et 225 est \(75\).
     
• 2. Le PGCD de 84 et 108 est \(12\).
     
• 3. Le PGCD de 36, 48 et 72 est \(12\).
     
• 4. Le PGCD de 126 et 210 est \(42\).
     
• 5. Le PGCD de 96 et 144 est \(48\).
     
• 6. Le PGCD de 240 et 315 est \(15\).

Ces calculs montrent comment, en décomposant les nombres en facteurs premiers, on peut facilement identifier les facteurs communs et trouver leur produit pour obtenir le plus grand diviseur commun.