Exercice 4

Exercice

Trouver le plus grand diviseur commun (PGDC) des nombres suivants :

1. \(8\) et \(14\)
   
2. \(18\) et \(24\)
   
3. \(6\) et \(9\)
   
4. \(16\) et \(28\)
   
5. \(11\) et \(17\)
   
6. \(36\), \(48\) et \(84\)

Réponse

1. 2
   
2. 6
   
3. 3
   
4. 4
   
5. 1
   
6. 12

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque question :

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a) PGDC de \(8\) et \(14\)

1. Liste des diviseurs :

   • Pour \(8\) : \(1, 2, 4, 8\)
     
   • Pour \(14\) : \(1, 2, 7, 14\)

2. Diviseurs communs :
   Les diviseurs communs à \(8\) et \(14\) sont \(1\) et \(2\).

3. Choix du plus grand :
   Le plus grand diviseur commun est donc \(2\).

   \[ \boxed{2} \]

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b) PGDC de \(18\) et \(24\)

1. Liste des diviseurs :

   • Pour \(18\) : \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
     
   • Pour \(24\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)

2. Diviseurs communs :
   Les diviseurs communs à \(18\) et \(24\) sont \(1, 2, 3, 6\).

3. Choix du plus grand :
   Le plus grand diviseur commun est donc \(6\).

   \[ \boxed{6} \]

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c) PGDC de \(6\) et \(9\)

1. Liste des diviseurs :

   • Pour \(6\) : \(1, 2, 3, 6\)
     
   • Pour \(9\) : \(1, 3, 9\)

2. Diviseurs communs :
   Les diviseurs communs à \(6\) et \(9\) sont \(1\) et \(3\).

3. Choix du plus grand :
   Le plus grand diviseur commun est donc \(3\).

   \[ \boxed{3} \]

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d) PGDC de \(16\) et \(28\)

1. Liste des diviseurs :

   • Pour \(16\) : \(1, 2, 4, 8, 16\)
     
   • Pour \(28\) : \(1, 2, 4, 7, 14, 28\)

2. Diviseurs communs :
   Les diviseurs communs à \(16\) et \(28\) sont \(1, 2, 4\).

3. Choix du plus grand :
   Le plus grand diviseur commun est donc \(4\).

   \[ \boxed{4} \]

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e) PGDC de \(11\) et \(17\)

1. Analyse :
   \(11\) et \(17\) sont des nombres premiers ; ainsi, leurs seuls diviseurs sont \(1\) et eux-mêmes.

2. Diviseurs communs :
   Comme \(11 \neq 17\) et aucun autre diviseur commun n’existe, le seul diviseur commun est \(1\).

   \[ \boxed{1} \]

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f) PGDC de \(36\), \(48\) et \(84\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(36 = 2^2 \times 3^2\)
     
   • \(48 = 2^4 \times 3\)
     
   • \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)

2. Trouver le minimum de chaque exposant commun :

   • Pour le nombre \(2\) :
     Les exposants sont \(2\) dans \(36\), \(4\) dans \(48\), et \(2\) dans \(84\).
     L’exposant minimum est \(2\).

   • Pour le nombre \(3\) :
     Les exposants sont \(2\) dans \(36\), \(1\) dans \(48\), et \(1\) dans \(84\).
     L’exposant minimum est \(1\).

3. Calcul du PGDC :
   Multiplier les facteurs communs avec leurs plus petits exposants :

   \[ PGDC = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \]

   \[ \boxed{12} \]

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Résumé des réponses

• 1. \(PGDC(8, 14) = 2\)
• 2. \(PGDC(18, 24) = 6\)
• 3. \(PGDC(6, 9) = 3\)
• 4. \(PGDC(16, 28) = 4\)
• 5. \(PGDC(11, 17) = 1\)
• 6. \(PGDC(36, 48, 84) = 12\)

Chaque étape a permis de lister les diviseurs ou de décomposer en facteurs premiers, puis de choisir le plus grand diviseur commun à tous les nombres considérés.