Exercice 3

Exercice : Trouve le plus petit multiple commun des nombres suivants :

1. \(10\) et \(30\)
   
2. \(18\) et \(24\)
   
3. \(4\), \(6\) et \(8\)
   
4. \(10\), \(15\) et \(25\)
   
5. \(35\) et \(14\)
   
6. \(21\) et \(28\)

Réponse

Réponses : a) 30, b) 72, c) 24, d) 150, e) 70, f) 84.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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a) Trouver le plus petit multiple commun (ppcm) de \(10\) et \(30\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(10 = 2 \times 5\)
   • \(30 = 2 \times 3 \times 5\)

2. Identification des facteurs avec leur plus grande puissance parmi les décompositions :

   • Pour le facteur \(2\) : la plus grande puissance est \(2^1\).
   • Pour le facteur \(3\) : \(3^1\) apparaît dans \(30\).
   • Pour le facteur \(5\) : la plus grande puissance est \(5^1\).

3. Calcul du ppcm :

   \[ ppcm(10,30) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30. \]

Réponse a) : Le ppcm de \(10\) et \(30\) est 30.

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b) Trouver le ppcm de \(18\) et \(24\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(18 = 2 \times 3^2\)
   • \(24 = 2^3 \times 3\)

2. Identification des facteurs avec leur plus grande puissance :

   • Pour le facteur \(2\) : la plus grande puissance est \(2^3\) (de \(24\)).
   • Pour le facteur \(3\) : la plus grande puissance est \(3^2\) (de \(18\)).

3. Calcul du ppcm :

   \[ ppcm(18,24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72. \]

Réponse b) : Le ppcm de \(18\) et \(24\) est 72.

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c) Trouver le ppcm de \(4\), \(6\) et \(8\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(4 = 2^2\)
   • \(6 = 2 \times 3\)
   • \(8 = 2^3\)

2. Identification des facteurs avec leur plus grande puissance :

   • Pour le facteur \(2\) : la plus grande puissance est \(2^3\) (de \(8\)).
   • Pour le facteur \(3\) : \(3^1\) apparaît dans \(6\).

3. Calcul du ppcm :

   \[ ppcm(4,6,8) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24. \]

Réponse c) : Le ppcm de \(4\), \(6\) et \(8\) est 24.

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d) Trouver le ppcm de \(10\), \(15\) et \(25\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(10 = 2 \times 5\)
   • \(15 = 3 \times 5\)
   • \(25 = 5^2\)

2. Identification des facteurs avec leur plus grande puissance :

   • Pour le facteur \(2\) : \(2^1\) apparaît dans \(10\).
   • Pour le facteur \(3\) : \(3^1\) apparaît dans \(15\).
   • Pour le facteur \(5\) : la plus grande puissance est \(5^2\) (de \(25\)).

3. Calcul du ppcm :

   \[ ppcm(10,15,25) = 2^1 \times 3^1 \times 5^2 = 2 \times 3 \times 25 = 150. \]

Réponse d) : Le ppcm de \(10\), \(15\) et \(25\) est 150.

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e) Trouver le ppcm de \(35\) et \(14\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(35 = 5 \times 7\)
   • \(14 = 2 \times 7\)

2. Identification des facteurs avec leur plus grande puissance :

   • Pour le facteur \(2\) : \(2^1\) apparaît dans \(14\).
   • Pour le facteur \(5\) : \(5^1\) apparaît dans \(35\).
   • Pour le facteur \(7\) : \(7^1\) commun aux deux nombres.

3. Calcul du ppcm :

   \[ ppcm(35,14) = 2 \times 5 \times 7 = 70. \]

Réponse e) : Le ppcm de \(35\) et \(14\) est 70.

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f) Trouver le ppcm de \(21\) et \(28\)

1. Décomposition en facteurs premiers :

   • \(21 = 3 \times 7\)
   • \(28 = 2^2 \times 7\)

2. Identification des facteurs avec leur plus grande puissance :

   • Pour le facteur \(2\) : \(2^2\) apparaît dans \(28\).
   • Pour le facteur \(3\) : \(3^1\) apparaît dans \(21\).
   • Pour le facteur \(7\) : \(7^1\) commun aux deux nombres.

3. Calcul du ppcm :

   \[ ppcm(21,28) = 2^2 \times 3^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 7 = 84. \]

Réponse f) : Le ppcm de \(21\) et \(28\) est 84.

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Réponses Résumées

• 1. \(30\)
• 2. \(72\)
• 3. \(24\)
• 4. \(150\)
• 5. \(70\)
• 6. \(84\)

Ces étapes montrent comment, en décomposant chaque nombre en facteurs premiers et en prenant le maximum pour chaque facteur, nous pouvons trouver le plus petit multiple commun des nombres donnés.