Exercice 2

latex Déterminez le plus petit multiple commun (ppmc) des entiers suivants :

1. \(4\) et \(6\)
   
2. \(12\) et \(8\)
   
3. \(7\) et \(14\)
   
4. \(5\) et \(20\)
   
5. \(9\) et \(27\)
   
6. \(6\), \(7\) et \(18\)

Réponse

1. 12
   
2. 24
   
3. 14
   
4. 20
   
5. 27
   
6. 126

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée du problème proposé.

---

a) \(4\) et \(6\)

1. Décomposition en facteurs premiers :
   • \(4 = 2^2\)
     
   • \(6 = 2 \times 3\)
2. Choix des facteurs avec l’exposant maximum :
   • Pour la base \(2\) : le maximum est \(2^2\) (car dans \(4\) on a \(2^2\) et dans \(6\) on a \(2^1\)).
     
   • Pour la base \(3\) : seul \(6\) possède le facteur \(3\), soit \(3^1\).
3. Calcul du ppmc :
   \[ \text{ppmc}(4,6) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12. \]

---

b) \(12\) et \(8\)

1. Décomposition en facteurs premiers :
   • \(12 = 2^2 \times 3\)
     
   • \(8 = 2^3\)
2. Choix des facteurs avec l’exposant maximum :
   • Pour \(2\) : le maximum est \(2^3\) (car \(8\) donne \(2^3\) et \(12\) donne \(2^2\)).
     
   • Pour \(3\) : seul \(12\) possède le facteur \(3\).
3. Calcul du ppmc :
   \[ \text{ppmc}(12,8) = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24. \]

---

c) \(7\) et \(14\)

1. Décomposition en facteurs premiers :
   • \(7 = 7\)
     
   • \(14 = 2 \times 7\)
2. Choix des facteurs avec l’exposant maximum :
   • Pour \(7\) : présent dans les deux nombres (\(7^1\)).
     
   • Pour \(2\) : présent seulement dans \(14\) sous la forme \(2^1\).
3. Calcul du ppmc :
   \[ \text{ppmc}(7,14) = 2 \times 7 = 14. \]

---

d) \(5\) et \(20\)

1. Décomposition en facteurs premiers :
   • \(5 = 5\)
     
   • \(20 = 2^2 \times 5\)
2. Choix des facteurs avec l’exposant maximum :
   • Pour \(5\) : présent dans les deux (\(5^1\)).
     
   • Pour \(2\) : présent dans \(20\) avec \(2^2\).
3. Calcul du ppmc :
   \[ \text{ppmc}(5,20) = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20. \]

---

e) \(9\) et \(27\)

1. Décomposition en facteurs premiers :
   • \(9 = 3^2\)
     
   • \(27 = 3^3\)
2. Choix des facteurs avec l’exposant maximum :
   • Pour \(3\) : le maximum est \(3^3\) (car \(27\) donne \(3^3\) et \(9\) donne \(3^2\)).
3. Calcul du ppmc :
   \[ \text{ppmc}(9,27) = 3^3 = 27. \]

---

f) \(6\), \(7\) et \(18\)

1. Décomposition en facteurs premiers :
   • \(6 = 2 \times 3\)
     
   • \(7 = 7\)
     
   • \(18 = 2 \times 3^2\)
2. Choix des facteurs avec l’exposant maximum :
   • Pour \(2\) : présent dans \(6\) et \(18\) sous la forme \(2^1\).
     
   • Pour \(3\) : le maximum est \(3^2\) (de \(18\)).
     
   • Pour \(7\) : présent uniquement dans \(7\) sous la forme \(7^1\).
3. Calcul du ppmc :
   \[ \text{ppmc}(6,7,18) = 2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 9 \times 7 = 126. \]

---

Résumé des réponses

• 1. Le ppmc de \(4\) et \(6\) est \(12\).
• 2. Le ppmc de \(12\) et \(8\) est \(24\).
• 3. Le ppmc de \(7\) et \(14\) est \(14\).
• 4. Le ppmc de \(5\) et \(20\) est \(20\).
• 5. Le ppmc de \(9\) et \(27\) est \(27\).
• 6. Le ppmc de \(6\), \(7\) et \(18\) est \(126\).

Chaque étape a été expliquée en décomposant les nombres en facteurs premiers, en choisissant pour chaque facteur sa plus grande puissance, et en multipliant ensuite ces facteurs pour obtenir le plus petit multiple commun.