Exercice 1

Question: Exercice

1. Écris les dix premiers multiples de \(5\), puis ceux de \(7\).

2. Identifie les éléments communs aux deux ensembles.

3. Trouve le plus petit multiple commun à \(5\) et \(7\).

Réponse

1. Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
     Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

2. Élément commun : 35

3. Plus petit multiple commun : 35

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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a) Écrire les dix premiers multiples de 5 puis ceux de 7

Multiples de 5 :

Pour trouver les multiples de 5, on multiplie 5 par les entiers naturels.

\[ \begin{array}{rcl} 5 \times 1 &=& 5 \\ 5 \times 2 &=& 10 \\ 5 \times 3 &=& 15 \\ 5 \times 4 &=& 20 \\ 5 \times 5 &=& 25 \\ 5 \times 6 &=& 30 \\ 5 \times 7 &=& 35 \\ 5 \times 8 &=& 40 \\ 5 \times 9 &=& 45 \\ 5 \times 10 &=& 50 \\ \end{array} \]

Ainsi, les dix premiers multiples de 5 sont :

\[ 5, \; 10, \; 15, \; 20, \; 25, \; 30, \; 35, \; 40, \; 45, \; 50. \]

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Multiples de 7 :

De manière similaire, pour trouver les multiples de 7, on multiplie 7 par les entiers de 1 à 10.

\[ \begin{array}{rcl} 7 \times 1 &=& 7 \\ 7 \times 2 &=& 14 \\ 7 \times 3 &=& 21 \\ 7 \times 4 &=& 28 \\ 7 \times 5 &=& 35 \\ 7 \times 6 &=& 42 \\ 7 \times 7 &=& 49 \\ 7 \times 8 &=& 56 \\ 7 \times 9 &=& 63 \\ 7 \times 10 &=& 70 \\ \end{array} \]

Ainsi, les dix premiers multiples de 7 sont :

\[ 7, \; 14, \; 21, \; 28, \; 35, \; 42, \; 49, \; 56, \; 63, \; 70. \]

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b) Identifier les éléments communs aux deux ensembles

Nous devons comparer les deux listes pour trouver les valeurs qui apparaissent dans les deux ensembles.

Les multiples de 5 donnés sont : \[ 5, \; 10, \; 15, \; 20, \; 25, \; 30, \; 35, \; 40, \; 45, \; 50. \]

Les multiples de 7 sont : \[ 7, \; 14, \; 21, \; 28, \; 35, \; 42, \; 49, \; 56, \; 63, \; 70. \]

En comparant ces deux listes, on remarque que 35 apparaît dans les deux ensembles.

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c) Trouver le plus petit multiple commun à 5 et 7

Le plus petit multiple commun à 5 et 7 est le plus petit nombre qui se trouve dans les deux listes de multiples.

On a déjà identifié que 35 est commun aux deux ensembles. Il s’agit donc du plus petit multiple commun.

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Conclusion

• a) Les dix premiers multiples de 5 sont :
  \(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\)
  Les dix premiers multiples de 7 sont :
  \(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70\)

• b) L’élément commun aux deux ensembles est : \(35\).

• c) Le plus petit multiple commun à 5 et 7 est : \(35\).

Cette méthode permet de trouver facilement les multiples et d’identifier leur intersection.