Exercice
Un bassin circulaire a une aire de \(1256 \, \text{m}^2\). Autour de ce bassin se trouve un chemin de 10 m de large. Calculer l’aire du chemin.
L’aire du chemin est 500π m² (soit environ 1570 m²).
Nous allons procéder étape par étape pour trouver l’aire du chemin.
On sait que l’aire d’un cercle est donnée par : \[ A = \pi r^2 \] Ici, l’aire du bassin est \(1256 \, \text{m}^2\). Ainsi, on a : \[ \pi r^2 = 1256 \] Pour trouver le rayon \(r\), on isole \(r\) : \[ r^2 = \frac{1256}{\pi} \quad \Longrightarrow \quad r = \sqrt{\frac{1256}{\pi}} \]
Si on prend \(\pi \approx 3.14\) alors : \[ r \approx \sqrt{\frac{1256}{3.14}} \approx \sqrt{400} = 20 \, \text{m} \]
Le chemin fait \(10 \, \text{m}\) de large. Le rayon de la zone totale (bassin et chemin) est donc : \[ R = r + 10 = 20 + 10 = 30 \, \text{m} \]
L’aire d’un cercle de rayon \(R\) est donnée par : \[ A_{\text{total}} = \pi R^2 = \pi (30)^2 = 900\pi \, \text{m}^2 \]
L’aire du chemin est la différence entre l’aire totale et l’aire du bassin : \[ A_{\text{chemin}} = A_{\text{total}} - A_{\text{bassin}} = 900\pi - 1256 \, \text{m}^2 \]
On peut aussi exprimer cette différence en remarquant qu’en calculant avec le rayon du bassin, \[ A_{\text{bassin}} = \pi r^2 = \pi (20)^2 = 400\pi \, \text{m}^2. \]
Ainsi, en utilisant cette valeur, l’aire du chemin est : \[ A_{\text{chemin}} = 900\pi - 400\pi = 500\pi \, \text{m}^2. \]
Si l’on souhaite donner une valeur approchée, avec \(\pi \approx 3.14\) on obtient : \[ A_{\text{chemin}} \approx 500 \times 3.14 = 1570 \, \text{m}^2. \]
L’aire du chemin est :
\[ \boxed{500\pi \, \text{m}^2 \quad \text{ou environ} \quad 1570 \, \text{m}^2.} \]