On considère un champ de 2,5 hectares de forme trapézoïdale. Sachant que l’une des bases mesure \(130\,\text{m}\) et que la hauteur est de \(180\,\text{m}\), déterminer la longueur de l’autre base.
L’autre base mesure (1330/9) m, soit environ 147,78 m.
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule de l’aire d’un trapèze.
L’aire \(A\) d’un trapèze se calcule à l’aide de la formule :
\[ A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \]
où : - \(b_1\) est la longueur d’une base, - \(b_2\) est la longueur de l’autre base, - \(h\) est la hauteur du trapèze.
On nous donne l’aire du champ en hectares. Sachant que : \[ 1 \text{ hectare} = 10\,000 \, \text{m}^2, \] alors : \[ 2,5 \text{ hectares} = 2,5 \times 10\,000 = 25\,000 \, \text{m}^2. \]
Nous connaissons : - \(A = 25\,000 \, \text{m}^2\), - \(b_1 = 130 \, \text{m}\), - \(h = 180 \, \text{m}\).
En substituant ces valeurs, on obtient :
\[ 25\,000 = \frac{(130 + b_2) \cdot 180}{2}. \]
Étape 1 : Simplifions l’équation.
Multiplier le numérateur par 1/2 revient à multiplier 180 par \(\frac{1}{2}\) (ou diviser 180 par 2) :
\[ 25\,000 = (130 + b_2) \cdot 90. \]
Étape 2 : Isolons \(130 + b_2\) en divisant chaque côté par 90 :
\[ 130 + b_2 = \frac{25\,000}{90}. \]
Étape 3 : Calculons le quotient :
\[ \frac{25\,000}{90} = \frac{2500}{9} \quad (\text{en simplifiant par 10}). \]
Étape 4 : Soustrayez \(130\) des deux côtés pour isoler \(b_2\) :
\[ b_2 = \frac{2500}{9} - 130. \]
Pour effectuer cette soustraction, exprimons \(130\) avec le dénominateur 9 :
\[ 130 = \frac{130 \times 9}{9} = \frac{1170}{9}. \]
D’où :
\[ b_2 = \frac{2500 - 1170}{9} = \frac{1330}{9}. \]
Étape 5 : Calculons la valeur numérique :
\[ \frac{1330}{9} \approx 147,78 \, \text{m}. \]
La longueur de l’autre base du champ trapézoïdal est donc :
\[ \boxed{\frac{1330}{9} \, \text{m} \approx 147,78 \, \text{m}}. \]
Cette démarche permet d’obtenir la solution en utilisant la relation entre l’aire, les bases et la hauteur d’un trapèze.