Exercice 64

Exercice

On a réalisé plusieurs mesures sur des disques :

1. Pour un disque de rayon \(r = 3\,\text{cm}\), calculer le périmètre et l’aire.
2. Pour un disque de diamètre \(d = 10\,\text{cm}\), calculer le périmètre et l’aire.
3. Pour un disque de rayon \(r = 0,1\,\text{mm}\), calculer le périmètre et l’aire.
4. Pour un disque de périmètre \(P = 6,28\,\text{cm}\), calculer le diamètre et l’aire.
5. Pour un disque de aire \(A = 314\,\text{cm}^2\), calculer le rayon et le périmètre.
6. Pour un disque de périmètre \(P = 157\,\text{cm}\), calculer l’aire.
7. Pour un disque de aire \(A = 12,56\,\text{cm}^2\), calculer le périmètre.

Réponse

1. Rayon 3 cm → P = 6π cm, A = 9π cm²
   
2. Diamètre 10 cm → P = 10π cm, A = 25π cm²
   
3. Rayon 0,1 mm → P = 0,2π mm, A = 0,01π mm²
   
4. P = 6,28 cm → Diamètre = 2 cm, A = π cm²
   
5. A = 314 cm² → Rayon = 10 cm, P = 20π cm
   
6. P = 157 cm → Rayon ≈ 25 cm, A = 625π cm²
   
7. A = 12,56 cm² → Rayon = 2 cm, P = 4π cm

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chaque question en utilisant les formules classiques d’un disque :

• Le périmètre (la circonférence) d’un disque de rayon \(r\) est donnée par
  \[ P = 2\pi r \quad \text{ou bien} \quad P = \pi d \quad \text{avec } d=2r. \]
• L’aire d’un disque est donnée par
  \[ A = \pi r^2. \]

Nous traiterons chaque point un par un.

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1. Disque de rayon \(r = 3\,\text{cm}\)

Calcul du périmètre :

Utilisons la formule
\[ P = 2\pi r. \] Ici,
\[ P = 2\pi \times 3 = 6\pi\,\text{cm}. \]

Calcul de l’aire :

Utilisons la formule
\[ A = \pi r^2. \] Ici,
\[ A = \pi \times 3^2 = 9\pi\,\text{cm}^2. \]

Réponse :
- Périmètre : \(6\pi\,\text{cm}\)
- Aire : \(9\pi\,\text{cm}^2\)

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2. Disque de diamètre \(d = 10\,\text{cm}\)

Pour un disque, le rayon est la moitié du diamètre, donc
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm}. \]

Calcul du périmètre :

\[ P = 2\pi r = 2\pi \times 5 = 10\pi\,\text{cm}. \]

Calcul de l’aire :

\[ A = \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi\,\text{cm}^2. \]

Réponse :
- Périmètre : \(10\pi\,\text{cm}\)
- Aire : \(25\pi\,\text{cm}^2\)

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3. Disque de rayon \(r = 0,1\,\text{mm}\)

Remarque sur les unités :
Ici, le rayon est donné en millimètres. Nous effectuerons les calculs en mm.

Calcul du périmètre :

\[ P = 2\pi r = 2\pi \times 0,1 = 0,2\pi\,\text{mm}. \]

Calcul de l’aire :

\[ A = \pi r^2 = \pi \times (0,1)^2 = 0,01\pi\,\text{mm}^2. \]

Réponse :
- Périmètre : \(0,2\pi\,\text{mm}\)
- Aire : \(0,01\pi\,\text{mm}^2\)

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4. Disque de périmètre \(P = 6,28\,\text{cm}\)

Calcul du diamètre :

Nous savons que
\[ P = \pi d. \] On peut isoler \(d\) : \[ d = \frac{P}{\pi}. \] En prenant \(\pi \approx 3,14\), nous avons : \[ d = \frac{6,28}{3,14} = 2\,\text{cm}. \]

Calcul du rayon :
Le rayon est la moitié du diamètre, donc
\[ r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\text{cm}. \]

Calcul de l’aire :

\[ A = \pi r^2 = \pi \times 1^2 = \pi\,\text{cm}^2. \]

Réponse :
- Diamètre : \(2\,\text{cm}\)
- Aire : \(\pi\,\text{cm}^2\)

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5. Disque de aire \(A = 314\,\text{cm}^2\)

Calcul du rayon :

On part de la formule \[ A = \pi r^2. \] Isolons \(r^2\) : \[ r^2 = \frac{A}{\pi} = \frac{314}{\pi}. \] En prenant \(\pi \approx 3,14\) : \[ r^2 = \frac{314}{3,14} = 100 \quad \Longrightarrow \quad r = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}. \]

Calcul du périmètre :

\[ P = 2\pi r = 2\pi \times 10 = 20\pi\,\text{cm}. \]

Réponse :
- Rayon : \(10\,\text{cm}\)
- Périmètre : \(20\pi\,\text{cm}\)

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6. Disque de périmètre \(P = 157\,\text{cm}\)

Calcul du rayon :

Utilisons la relation
\[ r = \frac{P}{2\pi}. \] En calculant avec \(\pi \approx 3,14\) : \[ r = \frac{157}{2 \times 3,14} = \frac{157}{6,28} \approx 25\,\text{cm}. \]

Calcul de l’aire :

\[ A = \pi r^2 = \pi \times 25^2 = 625\pi\,\text{cm}^2. \]

Réponse :
- Aire : \(625\pi\,\text{cm}^2\)

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7. Disque de aire \(A = 12,56\,\text{cm}^2\)

Calcul du rayon :

De la formule
\[ A = \pi r^2, \] on isole \(r^2\) : \[ r^2 = \frac{A}{\pi} = \frac{12,56}{\pi}. \] En utilisant \(\pi \approx 3,14\) : \[ r^2 = \frac{12,56}{3,14} = 4 \quad \Longrightarrow \quad r = \sqrt{4} = 2\,\text{cm}. \]

Calcul du périmètre :

\[ P = 2\pi r = 2\pi \times 2 = 4\pi\,\text{cm}. \]

Réponse :
- Périmètre : \(4\pi\,\text{cm}\)

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Chaque étape a été expliquée clairement pour faciliter la compréhension. Ces solutions vous permettent de voir comment appliquer les formules du cercle selon les informations données.