Exercice 63
Exercice : Calcul d’aires et de longueurs dans des
trapèzes
On vous propose plusieurs mesures prises sur des trapèzes :
- Soit un trapèze dont la grande base mesure \(7\,\text{cm}\), la petite base \(3\,\text{cm}\) et la hauteur \(5\,\text{cm}\). Calculer son aire.
- Soit un trapèze dont la grande base mesure \(1{,}1\,\text{m}\), la petite base \(0{,}8\,\text{m}\) et la hauteur \(1\,\text{m}\). Calculer son aire.
- Soit un trapèze dont la grande base mesure \(6\,\text{m}\), la petite base \(4\,\text{m}\) et dont l’aire est égale à
\(15\,\text{m}^2\). Calculer la
hauteur.
- Soit un trapèze dont la grande base mesure \(15{,}7\,\text{cm}\), la petite base \(4{,}3\,\text{cm}\) et dont l’aire est égale
à \(20\,\text{cm}^2\). Calculer la
hauteur.
- Soit un trapèze dont la grande base mesure \(5\,\text{m}\), la hauteur \(8\,\text{m}\) et dont l’aire est égale à
\(32\,\text{m}^2\). Calculer la petite
base.
- Soit un trapèze dont la petite base mesure \(0{,}4\,\text{m}\), la hauteur \(1{,}6\,\text{m}\) et dont l’aire est égale
à \(0{,}8\,\text{m}^2\). Calculer la
grande base.
Réponse
Voici le résumé des réponses :
- Aire : 25 cm²
- Aire : 0,95 m²
- Hauteur : 3 m
- Hauteur : 2 cm
- Petite base : 3 m
- Grande base : 0,6 m
Corrigé détaillé
Voici la solution détaillée de chaque partie de l’exercice :
Pour un trapèze, l’aire \(A\) se
calcule avec la formule :
\[
A = \frac{(B + b)}{2} \times h
\]
où : - \(B\) est la longueur de la
grande base, - \(b\) la longueur de la
petite base, - \(h\) la hauteur du
trapèze.
1. Aire d’un
trapèze avec \(7\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) et \(5\,\text{cm}\)
Données :
- Grande base \(B =
7\,\text{cm}\)
- Petite base \(b =
3\,\text{cm}\)
- Hauteur \(h = 5\,\text{cm}\)
Calcul :
\[
A = \frac{(7 + 3)}{2} \times 5 = \frac{10}{2} \times 5 = 5 \times 5 =
25\,\text{cm}^2
\]
Conclusion : L’aire du trapèze est de \(25\,\text{cm}^2\).
2. Aire d’un
trapèze avec \(1{,}1\,\text{m}\), \(0{,}8\,\text{m}\) et \(1\,\text{m}\)
Données :
- Grande base \(B =
1{,}1\,\text{m}\)
- Petite base \(b =
0{,}8\,\text{m}\)
- Hauteur \(h = 1\,\text{m}\)
Calcul :
\[
A = \frac{(1{,}1 + 0{,}8)}{2} \times 1 = \frac{1{,}9}{2} \times 1 =
0{,}95\,\text{m}^2
\]
Conclusion : L’aire du trapèze est de \(0{,}95\,\text{m}^2\).
3.
Hauteur d’un trapèze avec \(6\,\text{m}\), \(4\,\text{m}\) et aire \(15\,\text{m}^2\)
Données :
- Grande base \(B =
6\,\text{m}\)
- Petite base \(b =
4\,\text{m}\)
- Aire \(A = 15\,\text{m}^2\)
Calcul :
Nous partons de la formule :
\[
A = \frac{(B + b)}{2} \times h
\]
Nous devons trouver la hauteur \(h\). Isolons \(h\) :
\[
h = \frac{2A}{B + b}
\]
En remplaçant par les valeurs données :
\[
h = \frac{2 \times 15}{6 + 4} = \frac{30}{10} = 3\,\text{m}
\]
Conclusion : La hauteur du trapèze est de \(3\,\text{m}\).
4.
Hauteur d’un trapèze avec \(15{,}7\,\text{cm}\), \(4{,}3\,\text{cm}\) et aire \(20\,\text{cm}^2\)
Données :
- Grande base \(B =
15{,}7\,\text{cm}\)
- Petite base \(b =
4{,}3\,\text{cm}\)
- Aire \(A = 20\,\text{cm}^2\)
Calcul :
Utilisons la même méthode pour isoler la hauteur :
\[
h = \frac{2A}{B + b} = \frac{2 \times 20}{15{,}7 + 4{,}3}
\]
Calculons la somme des bases :
\[
15{,}7 + 4{,}3 = 20\,\text{cm}
\]
Puis :
\[
h = \frac{40}{20} = 2\,\text{cm}
\]
Conclusion : La hauteur du trapèze est de \(2\,\text{cm}\).
5.
Petite base d’un trapèze avec \(5\,\text{m}\), \(8\,\text{m}\) et aire \(32\,\text{m}^2\)
Données :
- Grande base \(B =
5\,\text{m}\)
- Petite base \(b = ?\)
- Hauteur \(h = 8\,\text{m}\)
- Aire \(A = 32\,\text{m}^2\)
Calcul :
Nous avons :
\[
A = \frac{(B + b)}{2} \times h
\]
En remplaçant :
\[
32 = \frac{(5 + b)}{2} \times 8
\]
Simplifions l’équation :
\[
\frac{(5+b)}{2} \times 8 = (5+b) \times 4
\]
Ainsi, l’équation devient :
\[
(5+b) \times 4 = 32
\]
Divisons par 4 :
\[
5+b = \frac{32}{4} = 8
\]
Isolons \(b\) :
\[
b = 8 - 5 = 3\,\text{m}
\]
Conclusion : La petite base mesure \(3\,\text{m}\).
6.
Grande base d’un trapèze avec \(0{,}4\,\text{m}\), \(1{,}6\,\text{m}\) et aire \(0{,}8\,\text{m}^2\)
Données :
- Grande base \(B = ?\)
- Petite base \(b =
0{,}4\,\text{m}\)
- Hauteur \(h =
1{,}6\,\text{m}\)
- Aire \(A = 0{,}8\,\text{m}^2\)
Calcul :
La formule de l’aire nous donne :
\[
A = \frac{(B + b)}{2} \times h
\]
Substituons les valeurs :
\[
0{,}8 = \frac{(B + 0{,}4)}{2} \times 1{,}6
\]
Pour isoler \(B\), commençons par
simplifier :
\[
\frac{(B+0{,}4)}{2} \times 1{,}6 = (B+0{,}4) \times \frac{1{,}6}{2} =
(B+0{,}4) \times 0{,}8
\]
L’équation devient :
\[
(B+0{,}4) \times 0{,}8 = 0{,}8
\]
Divisons par \(0{,}8\) :
\[
B+0{,}4 = \frac{0{,}8}{0{,}8} = 1
\]
Isolons \(B\) :
\[
B = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\,\text{m}
\]
Conclusion : La grande base mesure \(0{,}6\,\text{m}\).
Récapitulatif des réponses
- Aire du trapèze = \(25\,\text{cm}^2\)
- Aire du trapèze = \(0{,}95\,\text{m}^2\)
- Hauteur du trapèze = \(3\,\text{m}\)
- Hauteur du trapèze = \(2\,\text{cm}\)
- Petite base = \(3\,\text{m}\)
- Grande base = \(0{,}6\,\text{m}\)
Chaque étape a été détaillée afin de montrer le raisonnement utilisé
pour parvenir aux réponses.