Exercice 62

Les mesures suivantes concernent des carrés :

1. Pour un carré de côté \(5\,\text{cm}\), calculer le périmètre et l’aire.

2. Pour un carré ayant un périmètre de \(12\,\text{m}\), déterminer la longueur de son côté et calculer l’aire.

3. Si l’aire d’un carré est de \(36\,\text{m}^2\), déterminer la longueur de son côté et calculer le périmètre.

4. Pour un carré de périmètre \(31,2\,\text{m}\), calculer la longueur de son côté et son aire.

5. Si l’aire d’un carré est de \(1\,\text{dm}^2\), déterminer la longueur de son côté et calculer le périmètre.

6. Pour un carré de périmètre \(\frac{1}{2}\,\text{m}\), calculer l’aire.

7. Si l’aire d’un carré est de \(24\,\text{cm}^2\), calculer le périmètre.

Réponse

1. Carré de côté 5 cm : périmètre = 20 cm, aire = 25 cm²
   
2. Carré de périmètre 12 m : côté = 3 m, aire = 9 m²
   
3. Carré d’aire 36 m² : côté = 6 m, périmètre = 24 m
   
4. Carré de périmètre 31,2 m : côté = 7,8 m, aire = 60,84 m²
   
5. Carré d’aire 1 dm² : côté = 1 dm, périmètre = 4 dm
   
6. Carré de périmètre ½ m : côté = 1/8 m, aire = 1/64 m²
   
7. Carré d’aire 24 cm² : côté = 2√6 cm, périmètre = 8√6 cm

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque point :

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1) Carré de côté \(5\,\text{cm}\)

• Calcul du périmètre
  Le périmètre \(P\) d’un carré se calcule avec la formule
  \[ P = 4 \times \text{côté} \] Ainsi, pour un carré de côté \(5\,\text{cm}\) : \[ P = 4 \times 5 = 20\,\text{cm} \]

• Calcul de l’aire
  L’aire \(A\) d’un carré se calcule avec la formule
  \[ A = \text{côté}^2 \] Donc, \[ A = 5^2 = 25\,\text{cm}^2 \]

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2) Carré de périmètre \(12\,\text{m}\)

• Détermination de la longueur du côté
  La formule du périmètre est :
  \[ 12 = 4 \times \text{côté} \] Pour trouver la longueur du côté, on divise par 4 : \[ \text{côté} = \frac{12}{4} = 3\,\text{m} \]

• Calcul de l’aire
  L’aire se calcule par : \[ A = 3^2 = 9\,\text{m}^2 \]

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3) Carré d’aire \(36\,\text{m}^2\)

• Détermination de la longueur du côté
  L’aire d’un carré est donnée par : \[ 36 = \text{côté}^2 \] Pour trouver le côté, on prend la racine carrée : \[ \text{côté} = \sqrt{36} = 6\,\text{m} \]

• Calcul du périmètre
  Le périmètre se calcule par : \[ P = 4 \times 6 = 24\,\text{m} \]

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4) Carré de périmètre \(31,2\,\text{m}\)

• Calcul de la longueur du côté
  La formule du périmètre permet de déterminer le côté : \[ 31,2 = 4 \times \text{côté} \quad \Longrightarrow \quad \text{côté} = \frac{31,2}{4} = 7,8\,\text{m} \]

• Calcul de l’aire
  L’aire s’obtient en élevant le côté au carré : \[ A = 7,8^2 = 60,84\,\text{m}^2 \]

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5) Carré d’aire \(1\,\text{dm}^2\)

• Détermination de la longueur du côté
  Comme l’aire est : \[ 1 = \text{côté}^2 \] Le calcul du côté donne : \[ \text{côté} = \sqrt{1} = 1\,\text{dm} \]

• Calcul du périmètre
  On utilise la formule habituelle : \[ P = 4 \times 1 = 4\,\text{dm} \]

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6) Carré de périmètre \(\frac{1}{2}\,\text{m}\)

• Calcul de la longueur du côté
  Avec la formule du périmètre : \[ \frac{1}{2} = 4 \times \text{côté} \quad \Longrightarrow \quad \text{côté} = \frac{\frac{1}{2}}{4} = \frac{1}{8}\,\text{m} \]

• Calcul de l’aire
  L’aire s’obtient par : \[ A = \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64}\,\text{m}^2 \]

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7) Carré d’aire \(24\,\text{cm}^2\)

• Détermination de la longueur du côté
  On a : \[ 24 = \text{côté}^2 \quad \Longrightarrow \quad \text{côté} = \sqrt{24} \] On peut simplifier \(\sqrt{24}\) en décomposant le nombre sous la racine : \[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4}\times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}\,\text{cm} \]

• Calcul du périmètre
  Le périmètre est alors : \[ P = 4 \times 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}\,\text{cm} \]

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Chaque étape a été détaillée afin de bien comprendre les opérations menant aux réponses finales.