Exercice 61
Exercice
Les mesures suivantes ont été prises sur des losanges :
La première diagonale mesure \(6\,\mathrm{cm}\) et la deuxième diagonale
mesure \(7\,\mathrm{cm}\). Calculer
l’aire.
La deuxième diagonale mesure \(5\,\mathrm{dm}\) et l’aire est de \(20\,\mathrm{dm}^2\). Calculer la première
diagonale.
La première diagonale mesure \(5\,\mathrm{m}\) et l’aire est de \(36\,\mathrm{m}^2\). Calculer la deuxième
diagonale.
La première diagonale mesure \(0,3\,\mathrm{m}\) et la deuxième diagonale
mesure \(0,4\,\mathrm{m}\). Calculer
l’aire.
La première diagonale mesure \(1,2\,\mathrm{m}\) et l’aire est de \(1,44\,\mathrm{m}^2\). Calculer la deuxième
diagonale.
Réponse
Réponses : 1) 21 cm²
2) 8 dm
3) 14,4 m
4) 0,06 m²
5) 2,4 m
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Pour un losange, l’aire \(A\) se
calcule à l’aide des diagonales en utilisant la formule : \[
A = \frac{d_1 \times d_2}{2}
\] où \(d_1\) et \(d_2\) représentent respectivement la
première et la deuxième diagonale.
1) Calcul
de l’aire avec \(d_1 = 6\,\mathrm{cm}\)
et \(d_2 = 7\,\mathrm{cm}\)
Étapes :
- Appliquer la formule : \[
A = \frac{6 \times 7}{2}
\]
- Effectuer la multiplication : \[
6 \times 7 = 42
\]
- Diviser le résultat par 2 : \[
A = \frac{42}{2} = 21\,\mathrm{cm}^2
\]
Réponse : L’aire du losange est de \(21\,\mathrm{cm}^2\).
2)
Calcul de la première diagonale avec \(d_2 =
5\,\mathrm{dm}\) et \(A =
20\,\mathrm{dm}^2\)
Étapes :
- On part de la formule : \[
A = \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]
- Remplacer \(A\) et \(d_2\) par leurs valeurs : \[
20 = \frac{d_1 \times 5}{2}
\]
- Isoler \(d_1\) en multipliant par 2
: \[
40 = 5 \times d_1
\]
- Diviser par 5 pour trouver \(d_1\)
: \[
d_1 = \frac{40}{5} = 8\,\mathrm{dm}
\]
Réponse : La première diagonale mesure \(8\,\mathrm{dm}\).
3)
Calcul de la deuxième diagonale avec \(d_1 =
5\,\mathrm{m}\) et \(A =
36\,\mathrm{m}^2\)
Étapes :
- Utiliser la formule : \[
A = \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]
- Remplacer \(A\) et \(d_1\) par leurs valeurs : \[
36 = \frac{5 \times d_2}{2}
\]
- Multiplier par 2 pour se débarrasser du dénominateur : \[
72 = 5 \times d_2
\]
- Diviser par 5 pour calculer \(d_2\)
: \[
d_2 = \frac{72}{5} = 14,4\,\mathrm{m}
\]
Réponse : La deuxième diagonale mesure \(14,4\,\mathrm{m}\).
4) Calcul
de l’aire avec \(d_1 =
0,3\,\mathrm{m}\) et \(d_2 =
0,4\,\mathrm{m}\)
Étapes :
- Appliquer la formule : \[
A = \frac{0,3 \times 0,4}{2}
\]
- Multiplier les diagonales : \[
0,3 \times 0,4 = 0,12
\]
- Diviser par 2 : \[
A = \frac{0,12}{2} = 0,06\,\mathrm{m}^2
\]
Réponse : L’aire du losange est de \(0,06\,\mathrm{m}^2\).
5)
Calcul de la deuxième diagonale avec \(d_1 =
1,2\,\mathrm{m}\) et \(A =
1,44\,\mathrm{m}^2\)
Étapes :
- Commencer par la formule : \[
A = \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]
- Remplacer les valeurs données : \[
1,44 = \frac{1,2 \times d_2}{2}
\]
- Multiplier par 2 : \[
2,88 = 1,2 \times d_2
\]
- Diviser par \(1,2\) pour isoler
\(d_2\) : \[
d_2 = \frac{2,88}{1,2} = 2,4\,\mathrm{m}
\]
Réponse : La deuxième diagonale mesure \(2,4\,\mathrm{m}\).
Chaque problème a été résolu en appliquant directement la formule de
l’aire d’un losange et en isolant la grandeur inconnue dans chaque
cas.