Exercice 59

Considère les rectangles dont les mesures suivantes ont été relevées :

Un rectangle a une largeur de \(7\,\mathrm{cm}\) et une longueur de \(18\,\mathrm{cm}\). Calculer son périmètre et son aire.
Un rectangle a une aire de \(200\,\mathrm{cm}^2\) et une longueur de \(50\,\mathrm{cm}\). Déterminer sa largeur et son périmètre.
Un rectangle a une aire de \(15,48\,\mathrm{m}^2\) et une largeur de \(3,6\,\mathrm{m}\). Calculer son périmètre.
Un rectangle a un périmètre de \(100\,\mathrm{dm}\) et une largeur de \(20\,\mathrm{dm}\). Calculer sa longueur et son aire.
Un rectangle a un périmètre de \(15,2\,\mathrm{mm}\) et une longueur de \(4,9\,\mathrm{mm}\). Calculer son aire.

Réponse

Réponses :

P = 50 cm et A = 126 cm²
l = 4 cm et P = 108 cm
L ≈ 4,3 m et P ≈ 15,8 m
L = 30 dm et A = 600 dm²
l = 2,7 mm et A ≈ 13,23 mm²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée :

1. Calcul du périmètre et de l’aire d’un rectangle

Données :
- Largeur \(l = 7\,\mathrm{cm}\)
- Longueur \(L = 18\,\mathrm{cm}\)

a) Périmètre

Le périmètre \(P\) d’un rectangle se calcule avec la formule : \[ P = 2(L + l) \] En remplaçant les valeurs, nous avons : \[ P = 2(18 + 7) = 2(25) = 50\,\mathrm{cm} \]

b) Aire

L’aire \(A\) d’un rectangle est donnée par : \[ A = L \times l \] En calculant : \[ A = 18 \times 7 = 126\,\mathrm{cm}^2 \]

2. Détermination de la largeur et du périmètre du rectangle

Données :
- Aire \(A = 200\,\mathrm{cm}^2\)
- Longueur \(L = 50\,\mathrm{cm}\)

a) Calcul de la largeur

On connaît la formule de l’aire : \[ A = L \times l \] Ici, on cherche la largeur \(l\). On isole \(l\) dans la formule : \[ l = \frac{A}{L} = \frac{200}{50} = 4\,\mathrm{cm} \]

b) Calcul du périmètre

Le périmètre se calcule par : \[ P = 2(L + l) \] En remplaçant : \[ P = 2(50 + 4) = 2(54) = 108\,\mathrm{cm} \]

3. Calcul du périmètre d’un rectangle

Données :
- Aire \(A = 15,48\,\mathrm{m}^2\)
- Largeur \(l = 3,6\,\mathrm{m}\)

a) Détermination de la longueur

L’aire d’un rectangle est : \[ A = L \times l \] Pour trouver la longueur \(L\), on divise l’aire par la largeur : \[ L = \frac{A}{l} = \frac{15,48}{3,6} \] Calculons : \[ \frac{15,48}{3,6} = 4,3\,\mathrm{m} \quad \text{(car } 3,6 \times 4,3 = 15,48\text{)} \]

b) Calcul du périmètre

Le périmètre est : \[ P = 2(L + l) = 2(4,3 + 3,6) = 2(7,9) = 15,8\,\mathrm{m} \]

4. Calcul de la longueur et de l’aire d’un rectangle

Données :
- Périmètre \(P = 100\,\mathrm{dm}\)
- Largeur \(l = 20\,\mathrm{dm}\)

a) Détermination de la longueur

Le périmètre d’un rectangle se déduit par : \[ P = 2(L + l) \] On isole \(L + l\) : \[ L + l = \frac{P}{2} = \frac{100}{2} = 50\,\mathrm{dm} \] La longueur \(L\) est alors : \[ L = 50 - l = 50 - 20 = 30\,\mathrm{dm} \]

b) Calcul de l’aire

L’aire est donnée par : \[ A = L \times l = 30 \times 20 = 600\,\mathrm{dm}^2 \]

5. Calcul de l’aire d’un rectangle

Données :
- Périmètre \(P = 15,2\,\mathrm{mm}\)
- Longueur \(L = 4,9\,\mathrm{mm}\)

a) Détermination de la largeur

Le périmètre est : \[ P = 2(L + l) \] On calcule la somme \(L + l\) : \[ L + l = \frac{P}{2} = \frac{15,2}{2} = 7,6\,\mathrm{mm} \] Pour trouver la largeur \(l\), on soustrait la longueur : \[ l = 7,6 - 4,9 = 2,7\,\mathrm{mm} \]

b) Calcul de l’aire

L’aire du rectangle est : \[ A = L \times l = 4,9 \times 2,7 \] Calculons en effectuant la multiplication : \[ 4,9 \times 2 = 9,8 \quad \text{et} \quad 4,9 \times 0,7 = 3,43 \] \[ 9,8 + 3,43 = 13,23\,\mathrm{mm}^2 \]

Chaque étape a été détaillée pour vous permettre de comprendre la méthode de résolution de ces exercices de géométrie sur les rectangles.