Exercice
Trois personnes, Paul, Virginie et Françoise, possèdent chacune un jardin carré. Le périmètre du jardin de Virginie est cinq fois celui du jardin de Paul. L’aire du jardin de Françoise est cinq fois celle du jardin de Paul.
Comparer les jardins de Virginie et de Françoise.
Le jardin de Virginie est plus grand : son côté mesure 5a (aire 25a²) alors que celui de Françoise mesure a√5 (aire 5a²), donc l’aire de Virginie est cinq fois celle de Françoise.
Nous souhaitons comparer les jardins de Virginie et de Françoise. Pour cela, nous allons exprimer les dimensions de chaque jardin à partir des informations données.
Soit \(a\) la longueur du côté du jardin de Paul (qui est carré).
Périmètre de Paul :
\[ P_{\text{Paul}} = 4a \]
Aire de Paul :
\[ A_{\text{Paul}} = a^2 \]
On nous dit que le périmètre du jardin de Virginie est cinq fois celui de Paul.
Périmètre de Virginie :
\[ P_{\text{Virg}} = 5 \times P_{\text{Paul}} = 5 \times 4a = 20a \]
Comme le jardin de Virginie est un carré, si \(s_{\text{Virg}}\) est la longueur de son côté, alors :
\[ P_{\text{Virg}} = 4s_{\text{Virg}} \]
D’où :
\[ 4s_{\text{Virg}} = 20a \quad \Longrightarrow \quad s_{\text{Virg}} = \frac{20a}{4} = 5a \]
Aire du jardin de Virginie :
\[ A_{\text{Virg}} = \left( s_{\text{Virg}} \right)^2 = (5a)^2 = 25a^2 \]
Nous savons que l’aire du jardin de Françoise est cinq fois celle du jardin de Paul.
Aire de Françoise :
\[ A_{\text{Françoise}} = 5 \times A_{\text{Paul}} = 5 \times a^2 = 5a^2 \]
Comme son jardin est un carré, si \(s_{\text{Françoise}}\) est la longueur du côté, on a :
\[ A_{\text{Françoise}} = \left( s_{\text{Françoise}} \right)^2 \]
D’où :
\[ s_{\text{Françoise}} = \sqrt{A_{\text{Françoise}}} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \]
Nous avons obtenu : - Pour Virginie : - Côté \(s_{\text{Virg}} = 5a\) - Aire \(A_{\text{Virg}} = 25a^2\) - Pour Françoise : - Côté \(s_{\text{Françoise}} = a\sqrt{5}\) - Aire \(A_{\text{Françoise}} = 5a^2\)
Comparaison des aires :
Calculons le rapport des aires :
\[ \frac{A_{\text{Virg}}}{A_{\text{Françoise}}} = \frac{25a^2}{5a^2} = 5 \]
Ainsi, l’aire du jardin de Virginie est cinq fois l’aire du jardin de Françoise.
Comparaison des côtés :
Pour comparer les longueurs des côtés : - Côté de Virginie : \(5a\) - Côté de Françoise : \(a\sqrt{5}\)
On peut remarquer que :
\[ 5a > a\sqrt{5} \quad \text{puisque} \quad 5 > \sqrt{5} \ (\sqrt{5} \approx 2,236) \]
Le jardin de Virginie est plus grand que celui de Françoise. En effet, l’aire du jardin de Virginie est cinq fois celle du jardin de Françoise, ce qui montre clairement que le jardin de Virginie est bien plus étendu.