Considérons tous les rectangles dont l’aire est de \(16\,\text{cm}^2\) et dont la longueur et la largeur sont des nombres entiers.
Compléter le tableau suivant :
| Grandeur | Valeur |
|---|---|
| Longueur (cm) | |
| Largeur (cm) | |
| Périmètre (cm) |
Réaliser un graphique représentant le périmètre en fonction de la longueur.
La situation présente-t-elle une relation de proportionnalité ?
Déterminer les valeurs maximales et minimales du périmètre et donner une interprétation géométrique de ces valeurs.
À l’aide d’une calculatrice, vérifier que l’expression algébrique reliant la longueur \(x\) au périmètre est donnée par : \[ 2x + \frac{32}{x} \]
Les rectangles d’aire 16 cm² (avec x et y entiers) sont :
• 1×16 et 16×1 avec P = 34 cm
• 2×8 et 8×2 avec P = 20 cm
• 4×4 avec P = 16 cm
Le graphique de P = 2x + 32/x (avec x sur l’axe des abscisses) montre un minimum au carré (4,16), et la relation entre x et P n’est pas proportionnelle.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Étape 1 :
La formule donnant l’aire d’un rectangle est
\[
\text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur}.
\] Ici, on a : \[
\text{Longueur} \times \text{Largeur} = 16.
\]
Étape 2 :
Les paires d’entiers positifs \((x,
y)\) vérifiant \(x \times y =
16\) sont : - \(1 \times 16\) -
\(2 \times 8\) - \(4 \times 4\) - \(8 \times 2\) - \(16 \times 1\)
Étape 3 :
Le périmètre d’un rectangle se calcule à l’aide de la formule
\[
P = 2 \times (\text{Longueur} + \text{Largeur}).
\]
Nous obtenons pour chaque cas :
Cas 1 :
Longueur \(= 1\,\text{cm}\) et Largeur
\(= 16\,\text{cm}\)
\[
P = 2 \times (1 + 16) = 2 \times 17 = 34\,\text{cm}.
\]
Cas 2 :
Longueur \(= 2\,\text{cm}\) et Largeur
\(= 8\,\text{cm}\)
\[
P = 2 \times (2 + 8) = 2 \times 10 = 20\,\text{cm}.
\]
Cas 3 :
Longueur \(= 4\,\text{cm}\) et Largeur
\(= 4\,\text{cm}\)
\[
P = 2 \times (4 + 4) = 2 \times 8 = 16\,\text{cm}.
\]
Cas 4 :
Longueur \(= 8\,\text{cm}\) et Largeur
\(= 2\,\text{cm}\)
\[
P = 2 \times (8 + 2) = 2 \times 10 = 20\,\text{cm}.
\]
Cas 5 :
Longueur \(= 16\,\text{cm}\) et Largeur
\(= 1\,\text{cm}\)
\[
P = 2 \times (16 + 1) = 2 \times 17 = 34\,\text{cm}.
\]
Tableau récapitulatif :
| Longueur (cm) | Largeur (cm) | Périmètre (cm) |
|---|---|---|
| 1 | 16 | 34 |
| 2 | 8 | 20 |
| 4 | 4 | 16 |
| 8 | 2 | 20 |
| 16 | 1 | 34 |
Sur le graphique, on placera la longueur \(x\) sur l’axe des abscisses et le périmètre \(P\) sur l’axe des ordonnées. Les points à tracer sont les suivants :
Remarque sur le graphique :
On constate que le périmètre diminue quand \(x\) augmente de 1 jusqu’à 4, puis augmente
à nouveau quand \(x\) continue de
croître. Ainsi, le point \((4,16)\) est
le minimum et le graphique est symétrique par rapport à la verticale
passant par \(x=4\).
Analyse :
Une relation de proportionnalité entre deux grandeurs \(x\) et \(y\) signifie que \(y = k \cdot x\) où \(k\) est une constante.
Dans notre cas, le périmètre \(P\)
dépend de deux termes quand on l’exprime en fonction de la longueur
\(x\) : \[
P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right).
\] Cela ne peut pas s’écrire sous la forme \(P = k \cdot x\) car le deuxième terme \(\displaystyle \frac{16}{x}\) ne varie pas
de manière proportionnelle à \(x\).
Conclusion :
La situation ne présente pas une relation de
proportionnalité.
Calcul des périmètres dans notre tableau :
- Le périmètre minimal est de \(16\,\text{cm}\) (pour le rectangle qui est
un carré de \(4\,\text{cm} \times
4\,\text{cm}\)). - Le périmètre maximal est de \(34\,\text{cm}\) (pour les rectangles de
dimensions \(1\,\text{cm} \times
16\,\text{cm}\) et \(16\,\text{cm}
\times 1\,\text{cm}\)).
Interprétation géométrique :
Périmètre minimal (\(16\,\text{cm}\)) :
Cela correspond à la situation optimale où le rectangle est un carré.
Pour une aire donnée, le carré minimise le périmètre, ce qui signifie
qu’il utilise le moins de matériau pour entourer la surface.
Périmètre maximal (\(34\,\text{cm}\)) :
Cela se produit quand le rectangle est très allongé (de très petites
dimensions d’un côté et très grandes de l’autre). Dans ce cas, pour
obtenir la même aire, il faut beaucoup plus de matériau pour entourer la
forme.
\[ 2x + \frac{32}{x} \]
Justification :
Soit \(x\) la longueur du
rectangle.
L’aire étant fixée à \(16\,\text{cm}^2\), la largeur \(y\) se trouve en utilisant : \[
x \times y = 16 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{16}{x}.
\]
Le périmètre \(P\) du rectangle est : \[ P = 2 \times (\text{Longueur} + \text{Largeur}) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right). \]
En développant cette expression, on obtient : \[ P = 2x + \frac{32}{x}. \]
Vérification avec une calculatrice :
En remplaçant \(x\) par une valeur (par
exemple \(x=2\)) : - Calculons la
largeur :
\[
y = \frac{16}{2} = 8.
\] - Calculons le périmètre directement :
\[
P = 2(2+8) = 20.
\] - Calculons avec l’expression algébrique :
\[
P = 2 \times 2 + \frac{32}{2} = 4 + 16 = 20.
\]
Les deux calculs donnent la même valeur. Cela confirme que l’expression est correcte.
Le tableau est complété comme suit :
| Longueur (cm) | Largeur (cm) | Périmètre (cm) |
|---|---|---|
| 1 | 16 | 34 |
| 2 | 8 | 20 |
| 4 | 4 | 16 |
| 8 | 2 | 20 |
| 16 | 1 | 34 |
Le graphique représente les points \((1,34)\), \((2,20)\), \((4,16)\), \((8,20)\) et \((16,34)\) avec un minimum en \((4,16)\).
La relation entre la longueur \(x\) et le périmètre \(P\) n’est pas proportionnelle.
Le périmètre est minimal (\(16\,\text{cm}\)) pour le carré \(4 \times 4\) et maximal (\(34\,\text{cm}\)) pour les rectangles très allongés (\(1 \times 16\) et \(16 \times 1\)). Géométriquement, le carré utilise le moins de matériau pour une aire donnée, tandis qu’un rectangle allongé en utilise plus.
L’expression algébrique reliant la longueur \(x\) au périmètre est bien \[ P = 2x + \frac{32}{x}. \]
Cette démarche permet de comprendre pas à pas comment résoudre l’exercice et de vérifier chaque étape.