Considérons tous les rectangles de périmètre \(16\) cm dont la longueur et la largeur sont des nombres entiers.
| longueur (cm) | |
|---|---|
| largeur (cm) | |
| aire (\(\mathrm{cm}^2\)) |
Réaliser un graphique représentant l’aire en fonction de la longueur.
Cette situation est-elle proportionnelle ?
Déterminer les valeurs maximales et minimales de l’aire, puis en donner l’interprétation géométrique.
Réponse courte :
Tableau des rectangles de périmètre 16 cm : L = 1, l = 7, A = 7
cm²
L = 2, l = 6, A = 12 cm²
L = 3, l = 5, A = 15 cm²
L = 4, l = 4, A = 16 cm²
L = 5, l = 3, A = 15 cm²
L = 6, l = 2, A = 12 cm²
L = 7, l = 1, A = 7 cm²
Le graphique de A = L(8 – L) forme une parabole renversée avec un maximum en (4, 16).
La situation n’est pas proportionnelle (les rapports A/L varient).
L’aire maximale (16 cm²) est obtenue pour le carré 4×4 et l’aire minimale (7 cm²) pour les rectangles 1×7 ou 7×1.
Nous allons résoudre l’exercice étape par étape.
Énoncé :
On considère tous les rectangles de périmètre \(16\) cm dont la longueur \(L\) et la largeur \(l\) sont des nombres entiers. Pour un
rectangle, le périmètre est donné par
\[
2(L + l) = 16 \quad \Longrightarrow \quad L + l = 8.
\] Remarque :
Pour obtenir des rectangles « corrects », \(L\) et \(l\) doivent être des entiers strictement
positifs. Ainsi, on peut avoir : \[
l = 8 - L \quad \text{avec } L \in \{1,2,3,4,5,6,7\}.
\]
Calcul de l’aire :
L’aire \(A\) d’un rectangle se calcule
par
\[
A = L \times l = L \times (8 - L).
\]
Nous allons compléter le tableau en faisant varier \(L\) de \(1\) à \(7\) :
| Longueur \(L\) (cm) | Largeur \(l = 8 - L\) (cm) | Aire \(A = L(8-L)\) (\(\mathrm{cm}^2\)) |
|---|---|---|
| 1 | \(8 - 1 = 7\) | \(1 \times 7 = 7\) |
| 2 | \(8 - 2 = 6\) | \(2 \times 6 = 12\) |
| 3 | \(8 - 3 = 5\) | \(3 \times 5 = 15\) |
| 4 | \(8 - 4 = 4\) | \(4 \times 4 = 16\) |
| 5 | \(8 - 5 = 3\) | \(5 \times 3 = 15\) |
| 6 | \(8 - 6 = 2\) | \(6 \times 2 = 12\) |
| 7 | \(8 - 7 = 1\) | \(7 \times 1 = 7\) |
Sur un repère, on peut représenter les points dont les coordonnées sont \((L, A)\) où \(L\) est la longueur et \(A\) l’aire.
Les points à tracer sont : - \((1, 7)\) - \((2, 12)\) - \((3, 15)\) - \((4, 16)\) - \((5, 15)\) - \((6, 12)\) - \((7, 7)\)
Remarques pour le graphique : - L’axe horizontal
représente la longueur \(L\) (en cm). -
L’axe vertical représente l’aire \(A\)
(en \(\mathrm{cm}^2\)). - La courbe (ou
la suite de points) montre que l’aire augmente jusqu’à atteindre un
maximum lorsque \(L=4\) et redescend
ensuite.
- Le graphique aura la forme d’une courbe parabolique “renversée”, ce
qui correspond à l’équation quadratique \(A =
-L^2 + 8L\).
Pour qu’une situation soit proportionnelle, il faut que l’aire soit
directement proportionnelle à la longueur, c’est-à-dire que l’on puisse
écrire
\[
A = k \times L,
\] où \(k\) est un coefficient
constant.
Examinons les rapports : - Pour \(L=1\), \(A=7\), donc \(\frac{A}{L} = 7\). - Pour \(L=2\), \(A=12\), donc \(\frac{A}{L} = 6\). - Pour \(L=3\), \(A=15\), donc \(\frac{A}{L} = 5\).
Les rapports ne sont pas constants. De plus l’aire est donnée
par
\[
A = L \times (8 - L),
\] ce qui est une expression quadratique et non une relation
linéaire du type \(A = kL\).
Conclusion :
La situation n’est pas proportionnelle.
Calcul de l’aire en fonction de \(L\) :
Nous avons
\[
A(L) = L(8 - L) = -L^2 + 8L.
\] Cette fonction est une parabole (graphique parabolique) qui
s’ouvre vers le bas (coefficient de \(L^2\) négatif). Elle atteint donc un
maximum.
Trouvons le maximum :
Pour une fonction quadratique \(A(L) = -L^2 +
8L\), la longueur du sommet de la parabole se trouve avec la
formule \[
L_{\text{max}} = -\frac{b}{2a},
\] avec \(a = -1\) et \(b = 8\). Ainsi, \[
L_{\text{max}} = -\frac{8}{2(-1)} = \frac{8}{2} = 4.
\] Ensuite, on calcule l’aire maximum : \[
A(4) = 4(8 - 4) = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2.
\]
Cas de minimum :
Dans le tableau, lorsque \(L=1\) ou
\(L=7\), on obtient : \[
A(1) = 1 \times 7 = 7 \text{ cm}^2 \quad \text{et} \quad A(7) = 7 \times
1 = 7 \text{ cm}^2.
\] Ces deux valeurs correspondent à l’aire minimale dans la
liste.
Interprétation géométrique : - Maximum (16 cm²) : La valeur maximale d’aire est obtenue pour le rectangle de dimensions \(4\) cm par \(4\) cm. Ce rectangle est particulier car il s’agit d’un carré. On peut en conclure que, pour un périmètre donné, le carré est le rectangle qui maximise l’aire. - Minimum (7 cm²) : La valeur minimale d’aire est obtenue pour les rectangles de dimensions \(1\) cm par \(7\) cm (ou \(7\) cm par \(1\) cm). Ces rectangles sont très allongés et offrent ainsi une petite aire par rapport au carré précédent.
| Longueur \(L\) (cm) | Largeur \(l\) (cm) | Aire \(A\) (\(\mathrm{cm}^2\)) |
|---|---|---|
| 1 | 7 | 7 |
| 2 | 6 | 12 |
| 3 | 5 | 15 |
| 4 | 4 | 16 |
| 5 | 3 | 15 |
| 6 | 2 | 12 |
| 7 | 1 | 7 |
Le graphique de \(A\) en fonction de \(L\) trace les points \((1,7)\), \((2,12)\), \((3,15)\), \((4,16)\), \((5,15)\), \((6,12)\) et \((7,7)\), formant une parabole renversée qui atteint son maximum en \(L=4\).
La situation n’est pas proportionnelle car le rapport entre l’aire et la longueur n’est pas constant.
L’aire maximale est \(16 \ \mathrm{cm}^2\) pour le carré de côtés \(4\) cm, et l’aire minimale est \(7 \ \mathrm{cm}^2\) pour le rectangle de dimensions \(1\) cm par \(7\) cm (ou \(7\) cm par \(1\) cm). Géométriquement, le carré maximise l’aire pour un périmètre donné, tandis que des rectangles très allongés donnent une aire moindre.
Cette démarche résume l’analyse complète de l’exercice.