Recopier et compléter le tableau ci-dessous sachant que les mesures ont été prises sur des disques et en prenant pour \(\pi\) la valeur approximative 3,14.
| rayon (cm) | 3 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| diamètre (cm) | 4 | ||||
| périmètre (cm) | 25,12 | ||||
| aire \(\left(\mathrm{cm}^2\right)\) | 28,26 | 12,56 |
Les questions : 1. Les mesures du périmètre et de l’aire d’un disque sont-elles proportionnelles ? 2. Est-il suffisant de connaître le périmètre d’un disque pour calculer son aire ?
Réponse courte : – Les mesures P et A ne sont pas proportionnelles, car A = πr² et P = 2πr (donc A = P²/(4π), ce qui montre une dépendance quadratique). – Connaître le périmètre suffit pour calculer l’aire puisque r = P/(2π) et ainsi A = P²/(4π).
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On travaille sur des disques. On rappelle les formules usuelles, en prenant \(\pi \approx 3,14\) :
Dans le tableau, chaque colonne correspond à un disque dont une mesure (rayon, diamètre, périmètre ou aire) est donnée. Nous allons retrouver les autres mesures par calcul.
On connait le diamètre, qui est \(4\) cm.
Rayon :
\[
r = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}.
\]
Périmètre :
\[
P = 2\pi r = 2 \times 3,14 \times 2 = 12,56 \text{ cm}.
\]
Aire :
\[
A = \pi r^2 = 3,14 \times 2^2 = 3,14 \times 4 = 12,56 \text{ cm}^2.
\]
On connaît le périmètre, qui est \(25,12\) cm.
Rayon :
En partant de \(P = 2\pi r\), on a
\[
r = \frac{P}{2\pi} = \frac{25,12}{2 \times 3,14} = \frac{25,12}{6,28} =
4 \text{ cm}.
\]
Diamètre :
\[
D = 2r = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}.
\]
Aire : \[ A = \pi r^2 = 3,14 \times 4^2 = 3,14 \times 16 = 50,24 \text{ cm}^2. \]
On connaît l’aire, qui est \(28,26\) cm\(^2\).
Rayon :
En partant de \(A = \pi r^2\), on a
\[
r^2 = \frac{A}{\pi} = \frac{28,26}{3,14} = 9,
\] donc \[
r = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}.
\]
Diamètre :
\[
D = 2r = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}.
\]
Périmètre : \[ P = 2\pi r = 2 \times 3,14 \times 3 = 18,84 \text{ cm}. \]
On connaît l’aire, qui est \(12,56\) cm\(^2\).
Rayon :
\[
r^2 = \frac{12,56}{3,14} = 4 \quad \Longrightarrow \quad r = \sqrt{4} =
2 \text{ cm}.
\]
Diamètre :
\[
D = 2r = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}.
\]
Périmètre : \[ P = 2\pi r = 2 \times 3,14 \times 2 = 12,56 \text{ cm}. \]
On connaît le rayon, qui est \(3\) cm.
Diamètre :
\[
D = 2r = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}.
\]
Périmètre : \[ P = 2\pi r = 2 \times 3,14 \times 3 = 18,84 \text{ cm}. \]
Aire : \[ A = \pi r^2 = 3,14 \times 3^2 = 3,14 \times 9 = 28,26 \text{ cm}^2. \]
Nous pouvons donc compléter le tableau ainsi :
| Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 | Colonne 4 | Colonne 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| rayon (cm) | \(2\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(3\) |
| diamètre (cm) | \(4\) | \(8\) | \(6\) | \(4\) | \(6\) |
| périmètre (cm) | \(12,56\) | \(25,12\) | \(18,84\) | \(12,56\) | \(18,84\) |
| aire (cm²) | \(12,56\) | \(50,24\) | \(28,26\) | \(12,56\) | \(28,26\) |
Explication :
Le périmètre d’un disque est donné par la formule : \[ P = 2\pi r, \] ce qui est une relation linéaire par rapport à \(r\).
L’aire du disque est donnée par : \[ A = \pi r^2, \] ce qui est une relation quadratique par rapport à \(r\).
Pour vérifier la proportionnalité entre deux grandeurs, il faut qu’il existe un coefficient constant \(k\) tel que : \[ A = k \times P. \] Ici, si l’on exprime l’aire en fonction du périmètre, on peut écrire, en remplaçant \(r\) par \(\dfrac{P}{2\pi}\) dans la formule de l’aire : \[ A = \pi \left(\frac{P}{2\pi}\right)^2 = \frac{\pi P^2}{4\pi^2} = \frac{P^2}{4\pi}. \] On voit que \(A\) varie avec \(P^2\) et non pas linéairement avec \(P\). De plus, le rapport \[ \frac{A}{P} = \frac{r}{2} \] n’est pas constant car il dépend du rayon \(r\).
Conclusion :
Les mesures du périmètre et de l’aire d’un disque ne sont pas
proportionnelles.
Explication :
Si on connaît le périmètre \(P\) d’un disque, on peut retrouver le rayon \(r\) en utilisant la formule du périmètre : \[ r = \frac{P}{2\pi}. \] Une fois le rayon trouvé, on peut calculer l’aire avec la formule : \[ A = \pi r^2. \] En remplaçant \(r\) par \(\frac{P}{2\pi}\), on obtient : \[ A = \pi \left(\frac{P}{2\pi}\right)^2 = \frac{P^2}{4\pi}. \] Ainsi, la connaissance du périmètre permet de déterminer sans ambiguïté l’aire du disque.
Conclusion :
Oui, il est suffisant de connaître le périmètre d’un
disque pour calculer son aire.
Voilà la correction complète et détaillée de l’exercice.