Recopier et compléter le tableau ci-dessous, sachant que les mesures ont été effectuées sur des rectangles.
| Longueur (cm) | 8 | 6 | 2 | 1 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Largeur (cm) | 4 | ||||
| Périmètre (cm) | 22 | 18 | 18 | ||
| Aire \(\text{(cm}^2\text{)}\) | 28 | 4 |
Le périmètre et l’aire d’un rectangle sont-ils proportionnels ?
Peut-on déterminer l’aire d’un rectangle en connaissant uniquement son périmètre ?
Récapitulatif :
– R1 : 7 cm × 4 cm, périmètre 22 cm, aire 28 cm²
– R2 : 8 cm × 3 cm, périmètre 22 cm, aire 24 cm²
– R3 : 6 cm × 3 cm, périmètre 18 cm, aire 18 cm²
– R4 : 2 cm × 2 cm, périmètre 8 cm, aire 4 cm²
– R5 : 1 cm × 8 cm, périmètre 18 cm, aire 8 cm²
De plus, le périmètre et l’aire ne sont pas proportionnels et il n’est pas possible de déterminer l’aire d’un rectangle à partir de son seul périmètre.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Nous avons un tableau à compléter pour plusieurs rectangles. Chaque colonne (à partir de la deuxième) représente un rectangle différent. Nous allons appeler ces rectangles R1, R2, R3, R4 et R5, correspondant respectivement aux colonnes 2, 3, 4, 5 et 6 du tableau.
Les informations du tableau initial sont présentées ainsi (les cases non indiquées seront calculées) :
| Mesure | R1 | R2 | R3 | R4 | R5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Longueur (cm) | ? | 8 | 6 | 2 | 1 |
| Largeur (cm) | 4 | ? | ? | ? | ? |
| Périmètre (cm) | ? | 22 | 18 | ? | 18 |
| Aire (cm²) | 28 | ? | ? | 4 | ? |
Nous allons compléter chaque rectangle en utilisant les formules du rectangle :
La formule du périmètre :
\[
P = 2 \times (\text{Longueur} + \text{Largeur})
\]
La formule de l’aire :
\[
A = \text{Longueur} \times \text{Largeur}
\]
Données :
- Largeur \(= 4\) cm
- Aire \(= 28\) cm²
- La longueur est inconnue et le périmètre est à déterminer.
Calcul de la longueur :
Comme \(A = \text{Longueur} \times
\text{Largeur}\), on a : \[
\text{Longueur} = \frac{A}{\text{Largeur}} = \frac{28}{4} = 7 \text{ cm}
\]
Calcul du périmètre :
En utilisant la formule du périmètre : \[
P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22 \text{ cm}
\]
Récapitulatif pour R1 : - Longueur \(= 7\) cm - Largeur \(= 4\) cm - Périmètre \(= 22\) cm - Aire \(= 28\) cm²
Données :
- Longueur \(= 8\) cm
- Périmètre \(= 22\) cm
- La largeur et l’aire sont inconnues.
Calcul de la largeur :
Soit \(w\) la largeur. La formule du
périmètre donne : \[
2 \times (8 + w) = 22
\] Divisons par 2 : \[
8 + w = 11 \quad \Longrightarrow \quad w = 11 - 8 = 3 \text{ cm}
\]
Calcul de l’aire :
\[
A = 8 \times 3 = 24 \text{ cm}^2
\]
Récapitulatif pour R2 : - Longueur \(= 8\) cm - Largeur \(= 3\) cm - Périmètre \(= 22\) cm - Aire \(= 24\) cm²
Données :
- Longueur \(= 6\) cm
- Périmètre \(= 18\) cm
- La largeur et l’aire sont inconnues.
Calcul de la largeur :
Soit \(w\) la largeur. On a : \[
2 \times (6 + w) = 18
\] Divisons par 2 : \[
6 + w = 9 \quad \Longrightarrow \quad w = 9 - 6 = 3 \text{ cm}
\]
Calcul de l’aire :
\[
A = 6 \times 3 = 18 \text{ cm}^2
\]
Récapitulatif pour R3 : - Longueur \(= 6\) cm - Largeur \(= 3\) cm - Périmètre \(= 18\) cm - Aire \(= 18\) cm²
Données :
- Longueur \(= 2\) cm
- Aire \(= 4\) cm²
- La largeur et le périmètre sont inconnus.
Calcul de la largeur :
\[
\text{Largeur} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}
\]
Calcul du périmètre :
\[
P = 2 \times (2 + 2) = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}
\]
Récapitulatif pour R4 : - Longueur \(= 2\) cm - Largeur \(= 2\) cm - Périmètre \(= 8\) cm - Aire \(= 4\) cm²
Données :
- Longueur \(= 1\) cm
- Périmètre \(= 18\) cm
- La largeur et l’aire sont inconnues.
Calcul de la largeur :
Soit \(w\) la largeur. On a : \[
2 \times (1 + w) = 18
\] Divisons par 2 : \[
1 + w = 9 \quad \Longrightarrow \quad w = 9 - 1 = 8 \text{ cm}
\]
Calcul de l’aire :
\[
A = 1 \times 8 = 8 \text{ cm}^2
\]
Récapitulatif pour R5 : - Longueur \(= 1\) cm - Largeur \(= 8\) cm - Périmètre \(= 18\) cm - Aire \(= 8\) cm²
Voici le tableau complété :
| Mesure | R1 | R2 | R3 | R4 | R5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Longueur (cm) | 7 | 8 | 6 | 2 | 1 |
| Largeur (cm) | 4 | 3 | 3 | 2 | 8 |
| Périmètre (cm) | 22 | 22 | 18 | 8 | 18 |
| Aire (cm²) | 28 | 24 | 18 | 4 | 8 |
Question 1 : Le périmètre et l’aire d’un rectangle sont-ils proportionnels ?
Pour que deux quantités soient proportionnelles, le rapport entre elles doit être constant. Ici, pour chaque rectangle, examinons le rapport entre l’aire et le périmètre : - Pour R1 : \(\frac{28}{22} \approx 1,27\) - Pour R2 : \(\frac{24}{22} \approx 1,09\) - Pour R3 : \(\frac{18}{18} = 1\) - Pour R4 : \(\frac{4}{8} = 0,5\) - Pour R5 : \(\frac{8}{18} \approx 0,44\)
Les rapports sont différents. On constate ainsi que le périmètre et l’aire ne varient pas de manière proportionnelle. En effet, même pour des rectangles dont le périmètre peut être le même (par exemple R3 et R5 ont un périmètre de 18 cm), les aires sont différentes (18 cm² et 8 cm²).
Réponse :
Non, le périmètre et l’aire d’un rectangle ne sont pas
proportionnels.
Question 2 : Peut-on déterminer l’aire d’un rectangle en connaissant uniquement son périmètre ?
Pour un rectangle, une même valeur de périmètre peut correspondre à
des dimensions différentes, ce qui engendre des aires différentes.
L’exemple précédent le montre :
- Pour R3, avec un périmètre de 18 cm, les dimensions sont \(6 \text{ cm} \times 3 \text{ cm}\) et
l’aire vaut \(18 \text{ cm}^2\).
- Pour R5, avec le même périmètre de 18 cm, les dimensions sont \(1 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}\) et
l’aire vaut \(8 \text{ cm}^2\).
Réponse :
Non, il n’est pas possible de déterminer l’aire d’un rectangle en
connaissant uniquement son périmètre.
Nous avons complété le tableau en trouvant les longueurs, largeurs, périmètres et aires de chaque rectangle. De plus, nous avons démontré que le périmètre et l’aire ne sont pas proportionnels et qu’on ne peut pas déduire l’aire d’un rectangle à partir de son périmètre uniquement.