On considère un rectangle dont le périmètre est de 54 cm. La largeur est égale aux \(\frac{4}{5}\) de la longueur. Déterminez les dimensions du rectangle.
La longueur est 15 cm et la largeur 12 cm.
Nous allons résoudre ce problème étape par étape.
On sait que la largeur est égale aux \(\frac{4}{5}\) de la longueur, donc :
\[ l = \frac{4}{5}L \]
Le périmètre \(P\) d’un rectangle est donné par la formule :
\[ P = 2\left(L + l\right) \]
On nous indique que \(P = 54\) cm. Ainsi :
\[ 2\left(L + l\right) = 54 \]
Substituons \(l\) dans l’équation :
\[ 2\left(L + \frac{4}{5}L\right) = 54 \]
Facteur commun \(L\) :
\[ 2 \cdot L \left(1 + \frac{4}{5}\right) = 54 \]
Calculons \(1 + \frac{4}{5}\) :
\[ 1 + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \]
L’équation devient alors :
\[ 2L \cdot \frac{9}{5} = 54 \]
Simplifions l’équation :
\[ \frac{18}{5}L = 54 \]
Pour isoler \(L\), multiplions les deux côtés par l’inverse de \(\frac{18}{5}\), c’est-à-dire \(\frac{5}{18}\) :
\[ L = 54 \times \frac{5}{18} \]
Calculons :
\[ 54 \div 18 = 3 \quad \text{donc} \quad L = 3 \times 5 = 15 \]
On trouve donc :
\[ L = 15 \text{ cm} \]
Utilisons la relation entre la largeur et la longueur :
\[ l = \frac{4}{5}L = \frac{4}{5} \times 15 \]
Calculons :
\[ 15 \div 5 = 3 \quad \text{donc} \quad l = 4 \times 3 = 12 \]
Ainsi :
\[ l = 12 \text{ cm} \]
Les dimensions du rectangle sont donc :
Ces résultats correspondent aux informations données dans l’énoncé et vérifient bien la formule du périmètre.