Exercice
Soit un rectangle de largeur \(8\,\text{cm}\) et de longueur \(12\,\text{cm}\). De combien faut-il réduire la longueur pour que l’aire soit diminuée de \(24\,\text{cm}^2\) ?
Il faut réduire la longueur de 3 cm.
Nous avons un rectangle dont la largeur est \(8\,\text{cm}\) et la longueur est \(12\,\text{cm}\). L’aire du rectangle initial est donnée par :
\[ \text{Aire initiale} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 12 \times 8 = 96\,\text{cm}^2. \]
On cherche à réduire la longueur de sorte que l’aire soit diminuée de \(24\,\text{cm}^2\). Cela signifie que la nouvelle aire doit être :
\[ 96\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 72\,\text{cm}^2. \]
Si l’on réduit la longueur de \(x\) centimètres, la nouvelle longueur devient :
\[ 12 - x. \]
La nouvelle aire est alors :
\[ \text{Aire nouvelle} = (\text{nouvelle longueur}) \times (\text{largeur}) = (12 - x) \times 8. \]
D’après l’énoncé, cette nouvelle aire doit être égale à \(72\,\text{cm}^2\). On peut écrire l’équation suivante :
\[ 8(12 - x) = 72. \]
Étape 1 : Développer l’équation
\[ 8 \times 12 - 8 \times x = 72 \quad \Longrightarrow \quad 96 - 8x = 72. \]
Étape 2 : Isoler le terme en \(x\)
Pour isoler \(x\), soustrayons \(96\) des deux côtés de l’équation :
\[ 96 - 8x - 96 = 72 - 96, \] \[ -8x = -24. \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Divisons ensuite par \(-8\) de chaque côté :
\[ x = \frac{-24}{-8} = 3. \]
Conclusion :
Pour que l’aire du rectangle soit diminuée de \(24\,\text{cm}^2\), il faut réduire la
longueur de \(3\,\text{cm}\).
La réponse finale est donc : il faut réduire la longueur de 3 cm.