Exercice
Pour a = 10 cm et b = 2 cm, l’aire ombrée vaut (25π)/2 – 4√21 cm². En général, elle s’exprime par :
Aₒₘb = (πa²)/8 – 2b·√(a²/4 – b²).
On considère le problème suivant (souvent proposé en classe de collège) : dans une demi-circonférence de diamètre \(a\) se trouve un rectangle dont la base est la partie de la droite support, et dont la hauteur est égale à \(b\) (avec la condition que \(b\le \tfrac{a}{2}\) pour que le rectangle soit bien inscrit). La « surface ombrée » est la partie de la demi-circonférence qui n’appartient pas au rectangle. Pour la déterminer, on calcule d’une part l’aire de la demi-circonférence et d’autre part l’aire du rectangle inscrit, puis on fait la différence.
Nous allons expliquer en détail comment procéder.
Le diamètre du cercle complet est \(a\); son rayon est donc \[ R=\frac{a}{2}\,. \] L’aire d’un cercle complet est \[ \mathcal{A}_{\text{cercle}}=\pi R^2\,. \] Donc, l’aire de la demi-circonférence est la moitié de celle-ci : \[ \mathcal{A}_{\text{demi-cercle}}=\frac{1}{2}\pi R^2 =\frac{1}{2}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 =\frac{1}{2}\pi \,\frac{a^2}{4} =\frac{\pi a^2}{8}\,. \]
Dans la configuration classique pour qu’un rectangle soit inscrit
dans une demi-circonférence (la base du rectangle coïncidant avec le
diamètre), la hauteur \(b\) est donnée,
et la longueur de la base du rectangle ne couvre pas toute la longueur
\(a\) du diamètre.
Pour trouver la longueur de la base du rectangle, considérons le cercle
de centre \(O\) et de rayon \(R=\frac{a}{2}\).
Si on trace verticalement le rectangle, ses deux sommets supérieurs,
situés à une hauteur \(b\) au-dessus de
la droite qui supporte le diamètre, doivent appartenir à la
demi-circonférence.
Pour l’un de ces sommets, les coordonnées peuvent s’écrire (en plaçant
le centre \(O\) à l’origine) comme
\((x,b)\) avec \(x \ge 0\).
Ces coordonnées vérifient l’équation du cercle : \[
x^2+b^2 = R^2=\frac{a^2}{4}\,.
\] En isolant \(x\), on obtient
\[
x = \sqrt{\frac{a^2}{4}-b^2}\,.
\] Le rectangle est symétrique par rapport à l’axe vertical
passant par \(O\); ainsi, la longueur
totale de sa base est le double de \(x\) : \[
\text{Longueur de la base} = 2\sqrt{\frac{a^2}{4}- b^2}\,.
\] L’aire du rectangle est alors le produit de sa base par sa
hauteur : \[
\mathcal{A}_{\text{rectangle}} = \text{(base)}\times b =
2b\sqrt{\frac{a^2}{4}-b^2}\,.
\]
La surface ombrée correspond à la différence entre l’aire de la demi-circonférence et l’aire du rectangle : \[ \mathcal{A}_{\text{ombrée}} = \mathcal{A}_{\text{demi-cercle}}-\mathcal{A}_{\text{rectangle}} =\frac{\pi a^2}{8}\,-\,2b\,\sqrt{\frac{a^2}{4}-b^2}\,. \]
Cette formule donne l’aire en fonction des variables \(a\) et \(b\).
Calcul de l’aire de la demi-circonférence
Pour \(a=10\,\text{cm}\) : \[
R=\frac{10}{2}=5\,\text{cm}\,.
\] L’aire d’un cercle complet serait \(\pi R^2 =\pi\times25 =25\pi\) cm².
Donc, \[
\mathcal{A}_{\text{demi-cercle}}
=\frac{25\pi}{2}\;\text{cm}^2\,.
\]
Calcul de l’aire du rectangle
On calcule \[ \sqrt{\frac{a^2}{4}-b^2}=\sqrt{\frac{10^2}{4}-2^2} =\sqrt{\frac{100}{4}-4} =\sqrt{25-4} =\sqrt{21}\,. \] Ainsi, \[ \mathcal{A}_{\text{rectangle}} = 2b\sqrt{\frac{a^2}{4}-b^2} = 2\times 2\times \sqrt{21} = 4\sqrt{21}\;\text{cm}^2\,. \]
Calcul de la surface ombrée
On soustrait l’aire du rectangle à celle du demi-cercle : \[ \mathcal{A}_{\text{ombrée}} = \frac{25\pi}{2} - 4\sqrt{21}\;\text{cm}^2\,. \]
Pour \(a=10\,\text{cm}\) et \(b=2\,\text{cm}\), l’aire de la surface ombrée est \[ \boxed{\frac{25\pi}{2} - 4\sqrt{21}\;\text{cm}^2}\,. \]
La formule générale donnant cette aire en fonction de \(a\) et \(b\) (avec \(b\le \frac{a}{2}\)) est \[ \boxed{\mathcal{A}_{\text{ombrée}} = \frac{\pi a^2}{8} - 2b\,\sqrt{\frac{a^2}{4} - b^2}\,.} \]
Cette démarche permet de décomposer le problème en plusieurs étapes simples : calculer l’aire d’un demi-cercle, déterminer la longueur de la base d’un rectangle inscrit grâce aux coordonnées sur le cercle, calculer l’aire du rectangle, puis trouver la différence pour obtenir la surface ombrée.