Exercice 33

Exercice : Rectangles et Formules

On considère un rectangle dont la largeur est \(x\) cm et dont la longueur mesure \(x+6\) cm.

1. Exprimez la longueur en fonction de \(x\).
   
2. Exprimez le périmètre en fonction de \(x\).
   
3. Exprimez l’aire en fonction de \(x\).

Réponse

Réponses : 1. Longueur : L(x) = x + 6
2. Périmètre : P(x) = 4x + 12
3. Aire : A(x) = x² + 6x

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé

On considère un rectangle dont la largeur est \(x\) cm et dont la longueur mesure \(x+6\) cm.

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1. Exprimer la longueur en fonction de \(x\)

Étape 1 : Identification de la donnée

• La largeur est donnée par \(x\) cm.
• La longueur est donnée par \(x+6\) cm.

Conclusion :

La longueur en fonction de \(x\) est simplement : \[ L(x) = x + 6 \]

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2. Exprimer le périmètre en fonction de \(x\)

Étape 1 : Rappel de la formule

Le périmètre \(P\) d’un rectangle se calcule en additionnant deux fois sa largeur et deux fois sa longueur. La formule est donc : \[ P = 2 \times (\text{largeur} + \text{longueur}) \]

Étape 2 : Substitution des valeurs

Ici, la largeur est \(x\) et la longueur est \(x+6\). On remplace dans la formule : \[ P(x) = 2 \times \left( x + (x+6) \right) \]

Étape 3 : Simplification de l’expression

• On additionne \(x\) et \(x+6\) : \[ x + (x+6) = 2x + 6 \]
• Ensuite, on multiplie par 2 : \[ P(x) = 2 \times (2x + 6) = 4x + 12 \]

Conclusion :

Le périmètre en fonction de \(x\) est : \[ P(x) = 4x + 12 \quad \text{(en cm)} \]

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3. Exprimer l’aire en fonction de \(x\)

Étape 1 : Rappel de la formule

L’aire \(A\) d’un rectangle se calcule en multipliant sa largeur par sa longueur : \[ A = \text{largeur} \times \text{longueur} \]

Étape 2 : Substitution des valeurs

• Largeur : \(x\)
• Longueur : \(x+6\)

On a alors : \[ A(x) = x \times (x+6) \]

Étape 3 : Développement de l’expression

En utilisant la distributivité : \[ A(x) = x^2 + 6x \]

Conclusion :

L’aire en fonction de \(x\) est : \[ A(x) = x^2 + 6x \quad \text{(en cm}^2\text{)} \]

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Récapitulatif des réponses

1. Longueur en fonction de \(x\) : \(\boxed{L(x) = x+6}\)
2. Périmètre en fonction de \(x\) : \(\boxed{P(x) = 4x+12}\)
3. Aire en fonction de \(x\) : \(\boxed{A(x) = x^2+6x}\)

Cette démarche permet d’exprimer correctement les différentes mesures du rectangle en fonction de \(x\).