Complétez le tableau ci-dessous en indiquant le calcul utilisé et l’unité de la réponse. Utilisez 3 comme valeur approchée de \(\pi\).
| Rayon du disque | Angle au centre | Longueur de l’arc | Aire du secteur |
|---|---|---|---|
| 3 mm | \(150^\circ\) | ||
| 8 cm | \(30^\circ\) | ||
| 15 m | \(90^\circ\) | \(22.5\,\mathrm{m}\) | |
| \(360^\circ\) | |||
| 5 cm | \(8\,\mathrm{cm}\) |
Réponse :
Voici la correction détaillée :
Rappel des formules à utiliser (en prenant \(\pi = 3\)) :
La longueur de l’arc d’un secteur circulaire se calcule
avec
\[
L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r
\]
L’aire du secteur se calcule avec
\[
A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2
\]
Dans ces formules, \(\theta\) représente l’angle au centre en degrés et \(r\) le rayon du disque.
Calcul de la longueur de l’arc :
\[ L = \frac{150}{360} \times 2 \times 3 \times 3 \]
Unité : mm
Calcul de l’aire du secteur :
\[ A = \frac{150}{360} \times 3 \times 3^2 \]
Unité : mm\(^2\)
Calcul de la longueur de l’arc :
\[ L = \frac{30}{360} \times 2 \times 3 \times 8 \]
Unité : cm
Calcul de l’aire du secteur :
\[ A = \frac{30}{360} \times 3 \times 8^2 \]
Unité : cm\(^2\)
La longueur de l’arc est déjà indiquée : \(L = 22{,}5\,\mathrm{m}\).
Vérification de la longueur de l’arc :
\[ L = \frac{90}{360} \times 2 \times 3 \times 15 \]
Calcul de l’aire du secteur :
\[ A = \frac{90}{360} \times 3 \times 15^2 \]
Unité : m\(^2\)
Ici, le rayon \(r\) n’est pas donné. Pour un cercle complet (angle de \(360^\circ\)), les formules se simplifient :
Longueur de l’arc (circonférence) :
\[ L = \frac{360}{360} \times 2 \times 3 \times r = 6r \]
Unité : même unité que \(r\)
Aire du secteur (cercle) :
\[ A = \frac{360}{360} \times 3 \times r^2 = 3r^2 \]
Unité : unité au carré de \(r\)
Détermination de l’angle \(\theta\) :
Utilisons la formule de la longueur de l’arc :
\[ 8 = \frac{\theta}{360} \times 2 \times 3 \times 5 \]
Pour trouver \(\theta\) : \[ \frac{\theta}{360} = \frac{8}{30} \quad \Longrightarrow \quad \theta = 360 \times \frac{8}{30} = 360 \times \frac{4}{15} \]
Calculons : \[ 360 \times \frac{4}{15} = \frac{1440}{15} = 96^\circ \]
Calcul de l’aire du secteur :
\[ A = \frac{96}{360} \times 3 \times 5^2 \]
Simplifions \(\frac{96}{360}\) : \[ \frac{96}{360} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \]
Puis : \[ A = \frac{4}{15} \times 75 = 4 \times 5 = 20 \]
Unité : cm\(^2\)
| Rayon du disque | Angle au centre | Longueur de l’arc | Aire du secteur |
|---|---|---|---|
| 3 mm | \(150^\circ\) | \(L = \displaystyle \frac{150}{360}\times2\times3\times3 = 7{,}5\) mm | \(A = \displaystyle \frac{150}{360}\times3\times3^2 = 11{,}25\) mm\(^2\) |
| 8 cm | \(30^\circ\) | \(L = \displaystyle \frac{30}{360}\times2\times3\times8 = 4\) cm | \(A = \displaystyle \frac{30}{360}\times3\times8^2 = 16\) cm\(^2\) |
| 15 m | \(90^\circ\) | \(L = \displaystyle \frac{90}{360}\times2\times3\times15 = 22{,}5\) m | \(A = \displaystyle \frac{90}{360}\times3\times15^2 = 168{,}75\) m\(^2\) |
| (non indiqué) | \(360^\circ\) | \(L = \displaystyle \frac{360}{360}\times2\times3\times r = 6r\) (même unité que \(r\)) | \(A = \displaystyle \frac{360}{360}\times3\times r^2 = 3r^2\) (unité au carré de \(r\)) |
| 5 cm | (à trouver) | \(L = 8\) cm (donné) | \(A = \displaystyle \frac{96}{360}\times3\times5^2 = 20\) cm\(^2\) |
Remarque pour la ligne 5 :
- Pour trouver l’angle, nous avons résolu l’équation
\[ 8 = \frac{\theta}{360} \times 30 \quad \Longrightarrow \quad \theta = 96^\circ. \]
Chaque étape a été détaillée afin de montrer la logique et le calcul utilisé pour obtenir les réponses. Cette méthode permet de bien comprendre comment utiliser les formules pour calculer la longueur d’un arc et l’aire d’un secteur circulaire en utilisant une valeur approchée de \(\pi\).