Un éléphant se trouve dans un pré fermé en forme de triangle rectangle dont les côtés formant l’angle droit mesurent respectivement \(18\,\mathrm{m}\) et \(10\,\mathrm{m}\). Grâce à sa longue trompe, il peut atteindre l’eau située jusqu’à \(3\,\mathrm{m}\) à l’extérieur de la clôture. Calculer l’aire de la surface d’eau accessible à l’éléphant.
La surface accessible est 84 + 6√106 + 9π m².
Nous allons détailler pas à pas la résolution de cet exercice.
L’éléphant se trouve dans un pré dont la forme est un triangle
rectangle dont les deux côtés formant l’angle droit mesurent
respectivement \(18\,\mathrm{m}\) et
\(10\,\mathrm{m}\). La trompe de
l’éléphant lui permet d’atteindre l’eau qui se trouve à l’extérieur de
la clôture à une distance maximale de \(3\,\mathrm{m}\).
Il s’agit donc de déterminer l’aire de la zone située à l’extérieur du
triangle mais à une distance inférieure ou égale à \(3\,\mathrm{m}\) de ses côtés.
Pour tout polygone convexe (ici, un triangle), on peut montrer que l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à \(r\) du polygone (en ajoutant uniquement la partie située à l’extérieur) est constitué de :
Ainsi, l’aire totale accessible à l’extérieur du triangle est égale à la somme des aires des bandes + la somme des aires des secteurs circulaires.
Le triangle rectangle a pour côtés les longueurs \(18\,\mathrm{m}\) et \(10\,\mathrm{m}\). L’hypoténuse se calcule grâce au théorème de Pythagore : \[ \text{Hypoténuse} = \sqrt{18^2 + 10^2} = \sqrt{324 + 100} = \sqrt{424}. \] On peut extraire un facteur : \[ \sqrt{424} = \sqrt{4\times106} = 2\sqrt{106}\, \mathrm{m}. \]
Le périmètre \(P\) du triangle est la somme de la longueur de ses trois côtés : \[ P = 18 + 10 + 2\sqrt{106} = 28 + 2\sqrt{106}\, \mathrm{m}. \]
Pour chaque côté de longueur \(L\),
la bande accessible à l’extérieur est (approximativement) un rectangle
de largeur \(3\,\mathrm{m}\) et de
longueur \(L\).
L’aire de toutes ces bandes est donc : \[
A_{\text{bandes}} = 3 \times P = 3 \times \Bigl(28 + 2\sqrt{106}\Bigr) =
84 + 6\sqrt{106}\, \mathrm{m}^2.
\]
À chaque sommet, l’aire accessible est un secteur circulaire de rayon \(3\,\mathrm{m}\) dont l’angle au centre vaut \[ \theta_{\text{accessible}} = \pi - \theta_{\text{intérieur}}\,. \] Calculons cette contribution pour l’ensemble des sommets :
Pour le sommet où l’angle intérieur vaut \(\frac{\pi}{2}\) (le triangle rectangle), l’angle du secteur accessible est : \[ \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}. \] L’aire de ce secteur est : \[ A_1 = \frac{1}{2}\times 3^2 \times \frac{\pi}{2} = \frac{9}{2}\times \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}\,. \]
Pour les deux autres sommets, notons leurs angles intérieurs \(\alpha\) et \(\beta\). Comme la somme des angles d’un triangle est \(\pi\), nous avons : \[ \frac{\pi}{2} + \alpha + \beta = \pi \quad \Longrightarrow \quad \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\,. \] Pour chacun de ces sommets, l’aire du secteur accessible est : \[ A_{\alpha} = \frac{1}{2}\times 9 \times \Bigl(\pi - \alpha\Bigr) \quad \text{et} \quad A_{\beta} = \frac{1}{2}\times 9 \times \Bigl(\pi - \beta\Bigr). \] Leur somme est : \[ A_{\alpha}+A_{\beta} = \frac{9}{2}\Bigl[(\pi - \alpha) + (\pi - \beta)\Bigr] = \frac{9}{2}\Bigl[2\pi - (\alpha+\beta)\Bigr] = \frac{9}{2}\Bigl[2\pi - \frac{\pi}{2}\Bigr] = \frac{9}{2}\times\frac{3\pi}{2} = \frac{27\pi}{4}\,. \]
Ainsi, l’aire totale des secteurs aux trois sommets est : \[ A_{\text{secteurs}} = \frac{9\pi}{4} + \frac{27\pi}{4} = \frac{36\pi}{4} = 9\pi\, \mathrm{m}^2. \]
La zone accessible à l’éléphant se compose de l’aire des bandes le long des côtés et de celle des secteurs circulaires aux sommets : \[ A_{\text{accessible}} = A_{\text{bandes}} + A_{\text{secteurs}} = \Bigl(84 + 6\sqrt{106}\Bigr) + 9\pi\, \mathrm{m}^2. \]
On peut aussi reconnaître que le procédé précédent équivaut à “développer” le triangle en ajoutant autour une bande de largeur \(3\,\mathrm{m}\). La formule générale pour l’aire de l’enveloppe obtenue par le décalage externe d’un polygone convexe est : \[ A_{\text{offset}} = A_{\text{polygone}} + rP + \pi r^2\,. \] Ici, l’aire initiale du triangle (à l’intérieur de la clôture) n’est pas accessible, donc la zone accessible se trouve être la différence : \[ A_{\text{accessible}} = A_{\text{offset}} - A_{\text{triangle}} = rP + \pi r^2\,. \] En posant \(r=3\) et \(P=28+2\sqrt{106}\) on retrouve : \[ A_{\text{accessible}} = 3\Bigl(28 + 2\sqrt{106}\Bigr) + 9\pi = 84 + 6\sqrt{106} + 9\pi\, \mathrm{m}^2. \]
La surface d’eau accessible à l’éléphant, par sa longue trompe, est : \[ \boxed{84 + 6\sqrt{106} + 9\pi \quad \mathrm{m}^2.} \]
Cette solution permet de comprendre étape par étape comment regrouper les différentes parties (bandes et secteurs) pour obtenir la zone accessible située à l’extérieur du pré.