Soit un losange dont les diagonales mesurent \(18 \, \text{cm}\) et \(24 \, \text{cm}\). Déterminez son périmètre ainsi que son aire.
Soit un carré dont la diagonale mesure \(14 \, \text{cm}\). Déterminez son périmètre ainsi que son aire.
Losange : périmètre 60 cm et aire 216 cm².
Carré : périmètre 28√2 cm et aire 98 cm².
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Un losange possède deux diagonales qui se coupent perpendiculairement et se divisent en deux segments égaux. Pour trouver le périmètre et l’aire, nous allons procéder en deux étapes.
Soit \(d_1 = 18 \, \text{cm}\) et \(d_2 = 24 \, \text{cm}\).
Les diagonales se coupant en leur milieu, nous avons : - \(\frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{cm}\) - \(\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{cm}\)
Dans chaque triangle rectangle formé par la moitié des diagonales, le côté \(s\) du losange est l’hypoténuse. Par le théorème de Pythagore : \[ s = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}. \]
Périmètre
Le losange ayant quatre côtés égaux, son périmètre \(P\) est donné par : \[ P = 4 \times s = 4 \times 15 = 60 \, \text{cm}. \]
Aire
L’aire \(A\) d’un losange peut être calculée à partir des diagonales : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{18 \times 24}{2} = \frac{432}{2} = 216 \, \text{cm}^2. \]
Dans un carré, la diagonale et les côtés sont reliés par la relation du théorème de Pythagore. Si \(s\) désigne la longueur d’un côté et \(d\) la diagonale, alors : \[ d = s\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad s = \frac{d}{\sqrt{2}}. \]
Ici, \(d = 14 \, \text{cm}\). Ainsi, le côté est : \[ s = \frac{14}{\sqrt{2}}. \] Pour rationaliser le dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{2}\) : \[ s = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \, \text{cm}. \]
Périmètre
Le carré ayant quatre côtés identiques, le périmètre \(P\) est : \[ P = 4 \times s = 4 \times 7\sqrt{2} = 28\sqrt{2} \, \text{cm}. \]
Aire
L’aire \(A\) d’un carré se calcule en élevant le côté au carré : \[ A = s^2 = \left(7\sqrt{2}\right)^2 = 7^2 \times (\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98 \, \text{cm}^2. \]
Cette démarche montre étape par étape le calcul du côté respectif, suivi du périmètre et de l’aire, en utilisant le théorème de Pythagore et les formules adaptées pour chaque quadrilatère.