Madame Moreau souhaite faire pâturer sa chèvre sur une parcelle carrée de côté \(10\,\mathrm{m}\) comportant une fontaine circulaire de diamètre \(4\,\mathrm{m}\). Elle installe une clôture autour de la parcelle ainsi qu’autour de la fontaine.
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties.
La parcelle est un carré de côté \(10\,\mathrm{m}\). Son aire est donc calculée par la formule :
\[ A_{\text{parcelle}} = \text{côté}^2 = 10^2 = 100\,\mathrm{m}^2. \]
La fontaine est de forme circulaire et son diamètre est de \(4\,\mathrm{m}\). Pour calculer son aire, il nous faut d’abord connaître son rayon. Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre :
\[ r = \frac{4}{2} = 2\,\mathrm{m}. \]
L’aire du cercle (la fontaine) se calcule avec la formule :
\[ A_{\text{fontaine}} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi\,\mathrm{m}^2. \]
La surface herbeuse accessible est la partie de la parcelle qui n’est pas occupée par la fontaine. On obtient donc :
\[ A_{\text{herbeuse}} = A_{\text{parcelle}} - A_{\text{fontaine}} = 100 - 4\pi\,\mathrm{m}^2. \]
Madame Moreau installe une clôture autour de la parcelle ainsi qu’autour de la fontaine. Il faut donc calculer :
La formule du périmètre d’un carré de côté \(a\) est :
\[ P_{\text{parcelle}} = 4a = 4 \times 10 = 40\,\mathrm{m}. \]
La formule de la circonférence d’un cercle de rayon \(r\) est :
\[ C_{\text{fontaine}} = 2\pi r. \]
Comme nous avons déjà trouvé que \(r = 2\,\mathrm{m}\), on obtient :
\[ C_{\text{fontaine}} = 2\pi \times 2 = 4\pi\,\mathrm{m}. \]
La longueur totale de la clôture est la somme des deux longueurs calculées :
\[ L_{\text{totale}} = P_{\text{parcelle}} + C_{\text{fontaine}} = 40 + 4\pi\,\mathrm{m}. \]
Cette solution détaillée permet de comprendre chacune des étapes menant aux réponses finales de l’exercice.