Exercice
Le sol d’une remise est un carré de côté \(5\,\mathrm{m}\).
Bérengère, la chèvre, est attachée à une corde de \(10\,\mathrm{m}\) de long, fixée au sol à l’extérieur de la remise, dans l’un de ses coins.
Déterminez l’aire de la surface pâturée accessible à Bérengère.
La surface accessible à Bérengère est de (325π)/4 m².
Nous allons déterminer l’aire de la surface accessible à Bérengère en décomposant le problème en deux parties correspondant à deux secteurs circulaires.
Soit une remise dont le sol est un carré de côté \(5\,\mathrm{m}\). La chèvre est attachée à l’extérieur de la remise, en un de ses coins, avec une corde de \(10\,\mathrm{m}\). Nous pouvons représenter la situation de la manière suivante :
Nous distinguons ainsi deux zones :
La chèvre peut parcourir un large arc de cercle de rayon \(10\,\mathrm{m}\), sauf la partie bloquée par la remise. Puisque le coin de la remise occupe un angle de \(90^\circ\) et que la chèvre est attachée à son extérieur, l’angle accessible par rapport au point d’attache est de : \[ 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ. \] L’aire d’un secteur circulaire se calcule par : \[ \text{Aire} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2. \] Ainsi, pour le secteur principal de rayon \(R=10\,\mathrm{m}\) et d’angle \(\theta=270^\circ\) : \[ A_1 = \frac{270}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{3}{4} \times \pi \times 100 = 75\pi \quad \text{(en m}^2\text{)}. \]
Lorsque la chèvre se déplace le long d’un des côtés de la remise, elle atteint l’autre coin adjacent au point d’attache. Lorsqu’elle arrive à ce coin, la corde s’enroule autour de la remise, ce qui réduit la longueur effective de la corde. En effet, le côté de la remise mesure \(5\,\mathrm{m}\), il reste donc : \[ 10\,\mathrm{m} - 5\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{m} \] de corde pour poursuivre autour du coin. À ce deuxième coin, la chèvre peut alors parcourir un secteur circulaire d’angle \(90^\circ\) (puisque l’enroulement de la corde autour du coin permet de balayer exactement un angle droit). Ainsi, pour un secteur de rayon \(5\,\mathrm{m}\) et d’angle \(\theta=90^\circ\) : \[ A_2 = \frac{90}{360} \times \pi \times 5^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 25 = \frac{25\pi}{4} \quad \text{(en m}^2\text{)}. \]
L’aire totale de la surface pâturée accessible à Bérengère est la somme des deux aires calculées : \[ A_{\text{total}} = A_1 + A_2 = 75\pi + \frac{25\pi}{4}. \] Pour effectuer la somme, mettons \(75\pi\) sous le même dénominateur : \[ 75\pi = \frac{300\pi}{4}, \] donc : \[ A_{\text{total}} = \frac{300\pi}{4} + \frac{25\pi}{4} = \frac{325\pi}{4}. \]
L’aire de la surface pâturée accessible à Bérengère est donc : \[ \boxed{\frac{325\pi}{4}\,\mathrm{m}^2}. \]
Cette solution découle d’une réflexion en deux étapes : le calcul d’un secteur circulaire principal de rayon \(10\,\mathrm{m}\) et un secteur complémentaire de rayon \(5\,\mathrm{m}\), chacun correspondant à une partie du parcours de la chèvre autour de la remise.