Le tour de l’île réalisé par Bruno correspond à un parcours sur le littoral. Supposons qu’une montgolfière suive exactement ce trajet, mais à une altitude moyenne de \(5000\,\text{m}\) au-dessus de la surface.
Calculer de combien de kilomètres la trajectoire de la montgolfière serait plus longue que celle empruntée sur le littoral.
La différence de longueur entre les trajectoires est de 2π×5000, soit environ 31,4 km.
Nous allons raisonner en considérant que, près de la côte, la trajectoire empruntée par Bruno suit une courbe fermée qui, en première approximation, peut être assimilée à un cercle de rayon \(R\). La montgolfière suit le même parcours horizontal mais se trouve à une altitude constante de \(a = 5000\,\text{m}\) au-dessus de la surface. Autrement dit, si la côte correspond à un cercle de rayon \(R\), la trajectoire de la montgolfière correspond à un cercle de rayon \(R+a\).
Expliquons cela étape par étape :
Si Bruno effectue le tour de l’île sur le littoral et que celui-ci peut être assimilé à un cercle de rayon \(R\), alors la longueur de ce parcours est donnée par la formule de la circonférence :
\[ L_{\text{littoral}} = 2\pi R. \]
La montgolfière survole le littoral mais se trouve à \(5000\,\text{m}\) d’altitude. Ainsi, en considérant un cercle de rayon \(R+a\) avec \(a = 5000\,\text{m}\), la longueur de la trajectoire suivie par la montgolfière est :
\[ L_{\text{montgolfière}} = 2\pi (R+a) = 2\pi (R+5000). \]
La différence entre la trajectoire de la montgolfière et celle sur le littoral est donc :
\[ \Delta L = L_{\text{montgolfière}} - L_{\text{littoral}} = 2\pi (R+5000) - 2\pi R. \]
En factorisant \(2\pi\) :
\[ \Delta L = 2\pi \,[(R+5000) - R] = 2\pi \times 5000. \]
Calculons cette quantité :
\[ 2\pi \times 5000 \approx 2 \times 3,1416 \times 5000 \approx 31416\,\text{m}. \]
Convertissons en kilomètres :
\[ 31416\,\text{m} \approx 31,416\,\text{km}. \]
La trajectoire de la montgolfière est donc environ \(31.4\,\text{km}\) plus longue que celle du littoral.
L’idée de ce calcul repose sur le fait que tout cercle décalé radialement (ici d’une distance constante \(a\)) voit sa circonférence augmenter d’une quantité précisément égale à \(2\pi a\) par rapport à la circonférence du cercle initial. Ainsi, le survol constant à \(5000\,\text{m}\) au-dessus du littoral entraîne une augmentation de la distance parcourue de :
\[ \boxed{2\pi \times 5000 \approx 31,4\,\text{km}}. \]
Ceci conclut la correction de cet exercice.