Exercice 12

Exercice

Soit un cercle de diamètre \(40\,\text{cm}\). On considère un secteur circulaire délimité par un angle au centre de \(150^\circ\).

Calcule : - a) La longueur de l’arc qui délimite ce secteur. - b) L’aire du secteur circulaire. - c) Le périmètre du secteur circulaire.

Réponse

Réponses :
a) Longueur de l’arc = (50π)/3 cm
b) Aire du secteur = (500π)/3 cm²
c) Périmètre = (50π)/3 + 40 cm

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

---

Données du problème :

• Le cercle a un diamètre de \(40\,\text{cm}\).
  On calcule le rayon : \[ r = \frac{40}{2} = 20\,\text{cm}. \]
• Le secteur circulaire est délimité par un angle au centre de \(150^\circ\).

Pour effectuer les calculs, il faut souvent travailler en radians. Le rapport de conversion est : \[ 1^\circ = \frac{\pi}{180}\,\text{rad}. \] Ainsi, \[ 150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}\,\text{rad}. \]

---

a) Calcul de la longueur de l’arc

La formule qui donne la longueur \(L\) de l’arc d’un secteur est : \[ L = r \times \theta, \] où \(r\) est le rayon et \(\theta\) l’angle en radians.

En remplaçant par les valeurs trouvées : \[ L = 20 \times \frac{5\pi}{6}. \] Faisons le calcul : \[ L = \frac{20 \times 5\pi}{6} = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}\,\text{cm}. \]

---

b) Calcul de l’aire du secteur circulaire

L’aire \(A\) d’un secteur circulaire se calcule avec la formule : \[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta. \]

En substituant \(r = 20\,\text{cm}\) et \(\theta = \frac{5\pi}{6}\) : \[ A = \frac{1}{2} \times 20^2 \times \frac{5\pi}{6}. \] Calculons étape par étape : \[ 20^2 = 400. \] Puis, \[ A = \frac{1}{2} \times 400 \times \frac{5\pi}{6} = 200 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{1000\pi}{6}. \] On peut simplifier en divisant numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{1000\pi}{6} = \frac{500\pi}{3}\,\text{cm}^2. \]

---

c) Calcul du périmètre du secteur circulaire

Le périmètre \(P\) d’un secteur circulaire se compose de la longueur de l’arc plus les deux côtés (les deux rayons). On a donc : \[ P = L + 2r. \]

Nous avons trouvé précédemment que \(L=\frac{50\pi}{3}\,\text{cm}\) et sachant que \(r = 20\,\text{cm}\), nous remplaçons : \[ P = \frac{50\pi}{3} + 2 \times 20. \] Calculons la partie linéaire : \[ 2 \times 20 = 40\,\text{cm}. \] Ainsi, \[ P = \frac{50\pi}{3} + 40. \] On peut laisser cette expression telle quelle ou la mettre sous la forme d’une somme de fractions.

---

Réponses finales :

• 1. La longueur de l’arc est : \(\displaystyle \frac{50\pi}{3}\,\text{cm}\).
• 2. L’aire du secteur circulaire est : \(\displaystyle \frac{500\pi}{3}\,\text{cm}^2\).
• 3. Le périmètre du secteur circulaire est : \(\displaystyle \frac{50\pi}{3} + 40\,\text{cm}\).

Ce développement montre chaque étape du calcul afin de bien comprendre le raisonnement.