Exercice 11

Question: Exercice

Calculer l’aire de chacun des deux secteurs circulaires.

1. Le premier secteur a un rayon de \(4,2\,\text{cm}\) et un angle au centre de \(75^\circ\).

2. Le deuxième secteur correspond à un cercle de diamètre \(12\,\text{m}\) et présente un angle au centre de \(190^\circ\).

Réponse

1. A₁ = 3,675π cm² ≈ 11,55 cm²
   
2. A₂ = 19π m² ≈ 59,66 m²

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacun des deux exercices en utilisant la formule de l’aire d’un secteur circulaire :

\[ A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \]

où \(\theta\) est l’angle au centre (en degrés) et \(r\) est le rayon du cercle.

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a) Premier secteur

Données :

• Rayon : \(r = 4,2\,\text{cm}\)
• Angle au centre : \(\theta = 75^\circ\)

Étapes de calcul :

1. Calcul du carré du rayon :

   \[ r^2 = (4,2)^2 = 17,64\,\text{cm}^2 \]

2. Application de la formule de l’aire :

   \[ A_1 = \frac{75^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 17,64 \]

3. Simplification de la fraction :

   \[ \frac{75}{360} = \frac{5}{24} \]

   On obtient donc :

   \[ A_1 = \frac{5}{24} \times \pi \times 17,64 \]

4. Calcul intermédiaire :

   Multiplions \(\frac{5}{24} \times 17,64\).

   • D’abord, on calcule \(5 \times 17,64 = 88,2\).
     
   • Ensuite, \(\frac{88,2}{24} \approx 3,675\).

   Ainsi :

   \[ A_1 \approx 3,675\,\pi\,\text{cm}^2 \]

5. Valeur approchée :

   En prenant \(\pi \approx 3,14\) (pour une estimation) :

   \[ A_1 \approx 3,675 \times 3,14 \approx 11,55\,\text{cm}^2 \]

Résultat pour le premier secteur :

\[ \boxed{A_1 \approx 11,55\,\text{cm}^2 \quad \text{(ou} \; 3,675\,\pi\,\text{cm}^2\text{)}} \]

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b) Deuxième secteur

Données :

• Diamètre du cercle : \(12\,\text{m}\)
  → Donc le rayon est : \(r = \frac{12}{2} = 6\,\text{m}\)
• Angle au centre : \(\theta = 190^\circ\)

Étapes de calcul :

1. Calcul du carré du rayon :

   \[ r^2 = 6^2 = 36\,\text{m}^2 \]

2. Application de la formule de l’aire :

   \[ A_2 = \frac{190^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 36 \]

3. Simplification des expressions :

   Remarquons que :
   \[ \frac{190}{360} = \frac{19}{36} \]

   Ainsi :

   \[ A_2 = \frac{19}{36} \times \pi \times 36 \]

   On voit alors que le \(36\) du dénominateur et le \(36\) dans la multiplication s’annulent :

   \[ A_2 = 19\,\pi\,\text{m}^2 \]

4. Valeur approchée :

   Pour obtenir une valeur approchée avec \(\pi \approx 3,14\) :

   \[ A_2 \approx 19 \times 3,14 \approx 59,66\,\text{m}^2 \]

Résultat pour le deuxième secteur :

\[ \boxed{A_2 \approx 59,66\,\text{m}^2 \quad \text{(ou} \; 19\,\pi\,\text{m}^2\text{)}} \]

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Conclusion

Nous avons donc obtenu les aires suivantes :

• Pour le premier secteur (rayon \(4,2\,\text{cm}\) et angle \(75^\circ\)) :

  \[ A_1 \approx 11,55\,\text{cm}^2 \quad \text{ou} \quad A_1 = 3,675\,\pi\,\text{cm}^2 \]

• Pour le deuxième secteur (diamètre \(12\,\text{m}\) et angle \(190^\circ\)) :

  \[ A_2 \approx 59,66\,\text{m}^2 \quad \text{ou} \quad A_2 = 19\,\pi\,\text{m}^2 \]

Ces solutions explicatives permettent de comprendre comment, étape par étape, on utilise la formule de l’aire d’un secteur circulaire pour parvenir aux résultats.