Calculer la longueur de chacun des arcs de cercle suivants :
Premier cercle : L ≈ 6,23 cm
Second cercle : L = 5π m ≈ 15,71 m
Nous allons calculer la longueur d’un arc de cercle en utilisant la formule suivante :
\[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \]
où
- \(L\) est la longueur de l’arc,
- \(\theta\) est l’angle au centre en
degrés,
- \(R\) est le rayon du cercle.
Données :
- Rayon \(R = 4{,}2\,\text{cm}\)
- Angle \(\theta = 85^\circ\)
Étapes de calcul :
Trouver la circonférence complète du cercle :
La circonférence \(C\) est donnée par :
\[ C = 2\pi R = 2\pi \times 4{,}2 \, \text{cm} = 8{,}4\pi \, \text{cm} \]
Calculer la fraction de la circonférence correspondant à l’angle \(85^\circ\) :
Puisque l’arc correspond à \(85^\circ\) sur \(360^\circ\), sa longueur est :
\[ L = \frac{85}{360} \times 8{,}4\pi \, \text{cm} \]
Simplifier et calculer :
Vous pouvez simplifier la fraction :
\[ \frac{85}{360} = \frac{17}{72} \]
Ainsi,
\[ L = \frac{17}{72} \times 8{,}4\pi \, \text{cm} \]
Calculons le produit numérique :
\[ 8{,}4 \times 17 = 142{,}8 \]
Puis,
\[ L = \frac{142{,}8}{72}\pi \, \text{cm} \approx 1{,}9833\pi \, \text{cm} \]
En remplaçant \(\pi \approx 3{,}1416\), on obtient :
\[ L \approx 1{,}9833 \times 3{,}1416 \approx 6{,}23\,\text{cm} \]
Conclusion pour le premier cercle :
La longueur de l’arc est d’environ \(6{,}23\,\text{cm}\).
Données :
- Diamètre \(D = 12\,\text{m}\)
- L’angle au centre \(\theta =
150^\circ\)
Étapes de calcul :
Déterminer le rayon du cercle :
Le rayon \(R\) est la moitié du diamètre :
\[ R = \frac{D}{2} = \frac{12\,\text{m}}{2} = 6\,\text{m} \]
Calculer la circonférence du cercle :
\[ C = 2\pi R = 2\pi \times 6\,\text{m} = 12\pi\,\text{m} \]
Calculer la longueur de l’arc correspondant à \(150^\circ\) :
La longueur de l’arc est :
\[ L = \frac{150}{360} \times 12\pi\,\text{m} \]
Simplifions la fraction :
\[ \frac{150}{360} = \frac{5}{12} \]
Ainsi,
\[ L = \frac{5}{12} \times 12\pi\,\text{m} = 5\pi\,\text{m} \]
Pour obtenir une valeur approchée, on peut calculer :
\[ 5\pi \approx 5 \times 3{,}1416 \approx 15{,}71\,\text{m} \]
Conclusion pour le second cercle :
La longueur de l’arc est exactement \(5\pi\,\text{m}\), environ \(15{,}71\,\text{m}\).
Premier cercle :
\(R = 4{,}2\,\text{cm}\), \(\theta = 85^\circ\)
\(\displaystyle L \approx
6{,}23\,\text{cm}\).
Second cercle :
\(D = 12\,\text{m}\) (donc \(R = 6\,\text{m}\)), \(\theta = 150^\circ\)
\(\displaystyle L = 5\pi\,\text{m} \approx
15{,}71\,\text{m}\).
Cette méthode permet de déterminer la longueur de n’importe quel arc de cercle, en adaptant les valeurs du rayon (ou du diamètre) et de l’angle au centre.