Exercice 9

Soit trois disques. Calculez l’aire de chacun en utilisant la formule \[ \mathcal{A} = \pi \times r^2. \]

1. Le premier disque a un rayon de \(5\,\mathrm{m}\).

2. Le deuxième disque a un diamètre de \(12\,\mathrm{cm}\).

3. Le troisième disque a un diamètre de \(18\,\mathrm{dm}\).

Réponse

Disque 1 : Aire = 25π m².
Disque 2 : Aire = 36π cm².
Disque 3 : Aire = 81π dm².

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

---

Énoncé

On nous donne trois disques et on nous demande de calculer leur aire en utilisant la formule :

\[ \mathcal{A} = \pi \times r^2. \]

où \(r\) est le rayon du disque.

---

a) Premier disque

Donnée : Le rayon est de \(5\,\mathrm{m}\).

Calcul de l’aire :

1. On commence par rappeler la formule de l’aire : \[ \mathcal{A} = \pi \times r^2. \]
2. On remplace \(r\) par \(5\,\mathrm{m}\) : \[ \mathcal{A} = \pi \times (5\,\mathrm{m})^2. \]
3. On calcule le carré du rayon : \[ (5\,\mathrm{m})^2 = 25\,\mathrm{m}^2. \]
4. Ainsi, l’aire est : \[ \mathcal{A} = 25\pi\,\mathrm{m}^2. \]

---

b) Deuxième disque

Donnée : Le diamètre est de \(12\,\mathrm{cm}\).

Rappel : Le rayon \(r\) est la moitié du diamètre.
Donc, \[ r = \frac{12\,\mathrm{cm}}{2} = 6\,\mathrm{cm}. \]

Calcul de l’aire :

1. On utilise la formule : \[ \mathcal{A} = \pi \times r^2. \]
2. En remplaçant \(r\) par \(6\,\mathrm{cm}\), on obtient : \[ \mathcal{A} = \pi \times (6\,\mathrm{cm})^2. \]
3. On calcule le carré de \(6\,\mathrm{cm}\) : \[ (6\,\mathrm{cm})^2 = 36\,\mathrm{cm}^2. \]
4. L’aire du disque est donc : \[ \mathcal{A} = 36\pi\,\mathrm{cm}^2. \]

---

c) Troisième disque

Donnée : Le diamètre est de \(18\,\mathrm{dm}\).

Rappel : Comme pour le deuxième disque, on calcule le rayon en divisant le diamètre par 2. \[ r = \frac{18\,\mathrm{dm}}{2} = 9\,\mathrm{dm}. \]

Calcul de l’aire :

1. On utilise la formule de l’aire : \[ \mathcal{A} = \pi \times r^2. \]
2. En remplaçant \(r\) par \(9\,\mathrm{dm}\), on a : \[ \mathcal{A} = \pi \times (9\,\mathrm{dm})^2. \]
3. On calcule le carré : \[ (9\,\mathrm{dm})^2 = 81\,\mathrm{dm}^2. \]
4. L’aire du disque est donc : \[ \mathcal{A} = 81\pi\,\mathrm{dm}^2. \]

---

Récapitulatif des réponses

• Disque 1 : \(\mathcal{A} = 25\pi\,\mathrm{m}^2\).
• Disque 2 : \(\mathcal{A} = 36\pi\,\mathrm{cm}^2\).
• Disque 3 : \(\mathcal{A} = 81\pi\,\mathrm{dm}^2\).

Chaque étape repose sur l’utilisation de la formule de l’aire d’un disque et sur le calcul correct du carré du rayon. Cette démarche est la clé pour résoudre tout problème similaire en géométrie.