Exercice
À l’aide de polygones réguliers inscrits dans un cercle, approchez le périmètre et l’aire d’un disque de rayon \(8\,\mathrm{cm}\) avec le maximum d’exactitude possible. Pour ce faire, augmentez progressivement le nombre de côtés des polygones et calculez leurs périmètres et aires.
En inscrivant un polygone régulier à n côtés dans un cercle de rayon 8 cm, on trouve que :
– Le périmètre du polygone est Pₙ = 16·n·sin(π/n) et, pour n grand, Pₙ tend vers 16π cm (le périmètre du cercle).
– L’aire du polygone est Aₙ = 32·n·sin(2π/n) et, pour n grand, Aₙ tend vers 64π cm² (l’aire du disque).
Voici une correction détaillée de l’exercice en utilisant des polygones réguliers inscrits dans un cercle pour approcher, de manière de plus en plus précise, le périmètre et l’aire d’un disque de rayon \(R = 8\,\mathrm{cm}\).
L’idée est d’inscrire dans le cercle un polygone régulier à \(n\) côtés. Plus \(n\) augmente, plus ce polygone se rapproche du cercle. Pour chaque polygone inscrit, on peut calculer :
En augmentant le nombre de côtés de manière progressive (par exemple \(n = 6, \, 12, \, 24, \, \dots\)), les valeurs de \(P_n\) et \(A_n\) se rapprocheront respectivement du périmètre et de l’aire du cercle.
Chaque côté du polygone inscrit est intercepté par un angle au centre donné par : \[ \theta = \frac{2\pi}{n}. \] Pour obtenir la longueur d’un côté, nous considérons le triangle isocèle formé par le centre du cercle et deux points consécutifs du polygone. En scindant ce triangle en deux triangles rectangles, l’angle à la base devient : \[ \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{n}. \] La longueur d’un demi-côté (adjacent à cet angle dans le triangle rectangle) est donnée par \(R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Ainsi, la longueur totale du côté du polygone est : \[ s = 2 R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right). \]
Le périmètre, qui est la somme des longueurs des \(n\) côtés, est alors : \[ P_n = n \times s = 2 n R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right). \] En substituant \(R = 8\,\mathrm{cm}\), on obtient : \[ P_n = 16 n \sin\left(\frac{\pi}{n}\right). \]
Exemple de calcul avec un hexagone (\(n = 6\)) :
En augmentant \(n\), par exemple pour \(n = 12\) ou \(n = 24\), la valeur de \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\) se diminue, mais le produit global \(16 n \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\) se rapproche de celui du cercle dont le périmètre est \(2\pi R = 16\pi \,\mathrm{cm}\).
Pour l’aire, on découpe le polygone en \(n\) triangles isocèles identiques, chacun ayant pour sommet le centre du cercle.
Dans chaque triangle, le côté du triangle au sommet (au centre du cercle) est la radiuse \(R\). L’angle central de chaque triangle est : \[ \theta = \frac{2\pi}{n}. \] L’aire d’un triangle se calcule avec la formule : \[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} R^2 \sin\theta. \] En substituant \(\theta = \frac{2\pi}{n}\), nous avons : \[ A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right). \]
L’aire totale du polygone sera alors : \[ A_n = n \times A_{\text{triangle}} = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right). \] Pour \(R = 8\,\mathrm{cm}\), cette formule devient : \[ A_n = \frac{n}{2} \times 64 \, \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = 32n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right). \]
Exemple de calcul avec un hexagone (\(n = 6\)) :
À mesure que \(n\) augmente (en passant par \(n = 12\), \(24\), etc.), l’aire \(A_n\) se rapproche de l’aire du disque, qui est donnée par : \[ A_{\text{cercle}} = \pi R^2 = 64\pi\,\mathrm{cm}^2. \]
Pour le périmètre :
La formule \(P_n = 16 n
\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\) montre qu’en augmentant \(n\), le terme \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\) se
rapproche de \(\frac{\pi}{n}\) (puisque
pour de très petits angles, \(\sin(x) \approx
x\)). On retrouve alors : \[
P_n \approx 16 n \times \frac{\pi}{n} = 16\pi\,\mathrm{cm},
\] qui est le périmètre du cercle.
Pour l’aire :
La formule \(A_n = 32n
\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\) peut se comparer à l’aire du
disque. Lorsque \(n\) devient grand,
\(\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \approx
\frac{2\pi}{n}\), ce qui donne : \[
A_n \approx 32n \times \frac{2\pi}{n} = 64\pi\,\mathrm{cm}^2.
\] Ainsi, on retrouve l’aire du disque.
En augmentant progressivement le nombre de côtés des polygones inscrits dans un cercle de rayon \(8\,\mathrm{cm}\), on utilise les formules :
Ces formules permettent d’approcher le périmètre et l’aire du disque. Pour un nombre suffisamment élevé de côtés :
Cette méthode montre comment, grâce à la géométrie des polygones réguliers, on peut obtenir une bonne approximation des grandeurs du cercle par la suite de polygones inscrits.