Exercice 7

Découpe un disque de manière précise et divise-le en huit secteurs égaux. Rassemble ensuite ces secteurs pour obtenir une surface qui se rapproche d’un parallélogramme dont tu connais la méthode de calcul de l’aire.

Quelle est la figure obtenue par cet assemblage ?
Calcule l’aire approchée de cette figure.
En t’inspirant de cette démarche, formule une expression en fonction du rayon \(r\) permettant de calculer l’aire d’un disque.

Réponse

La figure obtenue est un parallélogramme.
Son aire est approximée par (πr) × r, soit πr².
Ainsi, l’aire d’un disque de rayon r est A = πr².

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.

Énoncé

On découpe un disque en huit secteurs égaux. Ensuite, on rassemble ces huit morceaux de manière à former une surface qui ressemble à un parallélogramme dont on connaît la méthode de calcul de l’aire.

On vous demande de :

Identifier la figure obtenue par cet assemblage.
Calculer l’aire approchée de cette figure.
En vous inspirant de cette démarche, donner une expression en fonction du rayon \(r\) qui permet de calculer l’aire d’un disque.

Correction

a) Identification de la figure obtenue

Lorsque l’on découpe un disque en huit secteurs égaux puis que l’on réorganise ceux-ci en décalant les morceaux, les parties arrondies (les arcs de cercle) se mettent bout à bout de telle sorte que l’on obtient une forme dont le contour se rapproche de deux côtés opposés presque droits et deux autres côtés obliques. Cette figure ressemble à un parallélogramme.

Remarque : Plus on utilise de secteurs (en augmentant le nombre de découpes), la figure obtenue se rapproche davantage d’un rectangle. Dans notre cas, avec huit secteurs, l’assemblage lui ressemble déjà très bien.

b) Calcul de l’aire approchée de cette figure

Pour calculer l’aire du parallélogramme, on utilise la formule classique :

\[ \text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}. \]

Étape 1 : Déterminer la base

Lorsque l’on réorganise les secteurs, les morceaux arrondis se disposent l’un à côté de l’autre pour former un côté qui correspond environ à la moitié de la circonférence du disque.
- La circonférence d’un cercle de rayon \(r\) est donnée par :
\[ C = 2\pi r. \] - La base du parallélogramme est donc approximativement :
\[ \text{base} \approx \frac{C}{2} = \frac{2\pi r}{2} = \pi r. \]

Étape 2 : Déterminer la hauteur

La hauteur du parallélogramme correspond à l’étendue verticale des secteurs réarrangés. On constate que cette longueur est égale au rayon du disque, c’est-à-dire :
\[ \text{hauteur} \approx r. \]

Étape 3 : Calcul de l’aire

En appliquant la formule de l’aire d’un parallélogramme, nous obtenons :

\[ \text{Aire approchée} = \text{base} \times \text{hauteur} \approx (\pi r) \times r = \pi r^2. \]

c) Formulation de l’expression de l’aire d’un disque

La démarche précédente permet de comprendre que l’aire du disque est en réalité égale à l’aire du parallélogramme approché lorsque l’on découpe le disque en tranches et que ces dernières sont réorganisées. Ainsi, la formule finale pour l’aire du disque de rayon \(r\) est :

\[ \boxed{A = \pi r^2.} \]

Conclusion

La figure obtenue en réorganisant les huit secteurs égaux d’un disque est un parallélogramme.
L’aire approchée de ce parallélogramme se calcule approximativement en multipliant la base (qui est \(\pi r\), soit la moitié de la circonférence) par la hauteur (\(r\)); ainsi,
\[ \text{Aire} \approx \pi r^2. \]
En s’inspirant de cette démarche, on retrouve la formule classique de l’aire d’un disque :
\[ A = \pi r^2. \]

Cette méthode permet de visualiser la formule en « découpant » le disque et en le réassemblant sous une forme dont l’aire est plus facilement calculable.