Le périmètre d’un triangle est de \(18\,\mathrm{cm}\). Le plus petit côté est le tiers du plus grand, lequel est \(1,5\,\mathrm{cm}\) de plus que le côté moyen.
Quelle est la mesure du plus grand côté ?
Le plus grand côté mesure 117/14 cm, soit environ 8,36 cm.
Nous allons déterminer la mesure du plus grand côté en procédant étape par étape.
Soit : - \(a\) la longueur du plus petit côté, - \(b\) la longueur du côté moyen, - \(c\) la longueur du plus grand côté.
Les informations données nous permettent d’établir les relations suivantes :
Le périmètre du triangle est de \(18\,\mathrm{cm}\) :
\[ a + b + c = 18 \]
Le plus petit côté est le tiers du plus grand :
\[ a = \frac{1}{3}c \]
Le plus grand côté est \(1,5\,\mathrm{cm}\) de plus que le côté moyen :
\[ c = b + 1,5 \quad \text{ou} \quad b = c - 1,5 \]
En remplaçant \(a\) et \(b\) par leurs expressions en fonction de \(c\), l’équation du périmètre devient :
\[ \frac{1}{3}c + (c - 1,5) + c = 18 \]
D’abord, combinons les termes en \(c\) :
\[ \frac{1}{3}c + c + c = \frac{1}{3}c + 2c = \frac{1 + 6}{3}c = \frac{7}{3}c \]
L’équation se réécrit donc :
\[ \frac{7}{3}c - 1,5 = 18 \]
Ajoutons \(1,5\) des deux côtés pour isoler le terme en \(c\) :
\[ \frac{7}{3}c = 18 + 1,5 = 19,5 \]
Pour éliminer la fraction, multiplions chaque côté de l’équation par \(3\) :
\[ 7c = 19,5 \times 3 = 58,5 \]
Finalement, divisons par \(7\) pour trouver \(c\) :
\[ c = \frac{58,5}{7} = \frac{117}{14} \]
On peut également donner une valeur approchée :
\[ c \approx 8,36\,\mathrm{cm} \]
La mesure du plus grand côté du triangle est donc :
\[ \boxed{\frac{117}{14}\,\mathrm{cm} \quad \text{ou environ} \quad 8,36\,\mathrm{cm}} \]
Cette démarche vous montre comment, en partant des informations données, nous avons exprimé toutes les longueurs en fonction de \(c\) et résolu l’équation du périmètre pour obtenir la mesure du plus grand côté.