Exercice
Soit un rectangle de longueur \(8\,\text{cm}\) et de largeur \(5\,\text{cm}\). La longueur augmente de \(30\%\) et la largeur diminue de \(30\%\).
Déterminez comment varient le périmètre et l’aire du rectangle.
Le nouveau périmètre est de 27,8 cm (augmentation d’environ 7 %) et la nouvelle aire est de 36,4 cm² (baisse de 9 %).
Nous avons un rectangle dont les dimensions initiales sont : - \(\ell_0 = 8\,\text{cm}\) (longueur) - \(L_0 = 5\,\text{cm}\) (largeur)
On nous indique que : - La longueur augmente de \(30\%\).
- La largeur diminue de \(30\%\).
Nous allons examiner séparément l’évolution du périmètre et de l’aire du rectangle.
L’augmentation de \(30\%\) se traduit par une multiplication de la longueur par \(1 + 0.30 = 1.3\) : \[ \ell_1 = \ell_0 \times 1.3 = 8\,\text{cm} \times 1.3 = 10.4\,\text{cm}. \]
La diminution de \(30\%\) se traduit par une multiplication de la largeur par \(1 - 0.30 = 0.7\) : \[ L_1 = L_0 \times 0.7 = 5\,\text{cm} \times 0.7 = 3.5\,\text{cm}. \]
Le périmètre d’un rectangle est donné par la formule : \[ P = 2(\ell + L). \] Ainsi, le périmètre initial est : \[ P_0 = 2(8 + 5) = 2 \times 13 = 26\,\text{cm}. \]
Avec les nouvelles dimensions, le nouveau périmètre est : \[ P_1 = 2(10.4 + 3.5) = 2(13.9) = 27.8\,\text{cm}. \]
La différence entre le nouveau périmètre et l’original est : \[ \Delta P = P_1 - P_0 = 27.8\,\text{cm} - 26\,\text{cm} = 1.8\,\text{cm}. \] Le pourcentage de variation est : \[ \text{Variation en \%} = \frac{\Delta P}{P_0} \times 100 = \frac{1.8}{26} \times 100 \approx 6.92\%. \]
Conclusion pour le périmètre :
Le périmètre augmente d’environ \(6.92\%\) (passant de \(26\,\text{cm}\) à \(27.8\,\text{cm}\)).
L’aire d’un rectangle se calcule grâce à : \[ A = \ell \times L. \] Pour le rectangle initial : \[ A_0 = 8 \times 5 = 40\,\text{cm}^2. \]
La nouvelle aire, avec les dimensions modifiées, est : \[ A_1 = 10.4 \times 3.5. \]
Calculons ce produit pas à pas : - Une façon de voir le calcul est de remarquer que \(10.4 \times 3.5 = 10.4 \times (3 + 0.5) = 10.4 \times 3 + 10.4 \times 0.5\). - On a : \(10.4 \times 3 = 31.2\) et \(10.4 \times 0.5 = 5.2\). - Donc : \(31.2 + 5.2 = 36.4\,\text{cm}^2\).
La différence est : \[ \Delta A = A_1 - A_0 = 36.4\,\text{cm}^2 - 40\,\text{cm}^2 = -3.6\,\text{cm}^2. \] Cela signifie une diminution de l’aire.
Le pourcentage de variation est : \[ \text{Variation en \%} = \frac{-3.6}{40} \times 100 = -9\%. \]
Conclusion pour l’aire :
L’aire diminue de \(9\%\) (passant de
\(40\,\text{cm}^2\) à \(36.4\,\text{cm}^2\)).
Ainsi, lorsque la longueur augmente de \(30\%\) et la largeur diminue de \(30\%\), le périmètre du rectangle augmente tandis que l’aire diminue.