Exercice 18

Compléter par l’exposant manquant :

1. \(3700 = 3,7 \cdot 10^{\dots}\)
2. \(120 = 1,2 \cdot 10^{\dots}\)
3. \(62,7 = 6,27 \cdot 10^{\dots}\)
4. \(428,7 = 4,287 \cdot 10^{\dots}\)
5. \(624000 = 6,24 \cdot 10^{\dots}\)
6. \(3,25 = 3,25 \cdot 10^{\dots}\)

Réponse

Voici le résumé très court :

1. 3700 = 3,7 × 10³
   
2. 120 = 1,2 × 10²
   
3. 62,7 = 6,27 × 10¹
   
4. 428,7 = 4,287 × 10²
   
5. 624000 = 6,24 × 10⁵
   
6. 3,25 = 3,25 × 10⁰

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque transformation en écriture scientifique :

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Rappel général

Pour écrire un nombre en écriture scientifique, on cherche à l’exprimer sous la forme \[ a \times 10^n \] avec \(1 \leq a < 10\) et \(n\) un entier. Le nombre \(a\) se forme en plaçant la virgule après le premier chiffre non nul. L’exposant \(n\) correspond au nombre de positions que la virgule a été déplacée vers la droite (si le nombre est grand) ou vers la gauche (si le nombre est petit) pour obtenir le nombre d’origine.

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1) \(3700 = 3,7 \cdot 10^{\dots}\)

• On commence par écrire \(3700\) avec une seule décimale significative devant la virgule.
• Nous écrivons \(3,7\).
• Pour revenir à \(3700\), il faut multiplier \(3,7\) par \(1000\) (car \(3,7 \times 1000 = 3700\)).
• On sait que \(1000 = 10^3\).

Donc : \[ 3700 = 3,7 \cdot 10^3. \]

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2) \(120 = 1,2 \cdot 10^{\dots}\)

• On écrit \(120\) avec un seul chiffre avant la virgule, ce qui donne \(1,2\).
• Pour obtenir \(120\) à partir de \(1,2\), on multiplie par \(100\) (car \(1,2 \times 100 = 120\)).
• Comme \(100 = 10^2\):

On a : \[ 120 = 1,2 \cdot 10^2. \]

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3) \(62,7 = 6,27 \cdot 10^{\dots}\)

• En déplaçant la virgule une fois sur la gauche, on obtient \(6,27\).
• Pour revenir à \(62,7\), on doit multiplier \(6,27\) par \(10\) (car \(6,27 \times 10 = 62,7\)).
• Puisque \(10 = 10^1\):

On obtient : \[ 62,7 = 6,27 \cdot 10^1. \]

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4) \(428,7 = 4,287 \cdot 10^{\dots}\)

• Ici, on place la virgule après le premier chiffre pour obtenir \(4,287\).
• Pour retrouver \(428,7\) on multiplie \(4,287\) par \(100\) (car \(4,287 \times 100 = 428,7\)).
• Or, \(100 = 10^2\).

Ainsi : \[ 428,7 = 4,287 \cdot 10^2. \]

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5) \(624000 = 6,24 \cdot 10^{\dots}\)

• On écrit \(624000\) sous la forme \(6,24\) en déplaçant la virgule pour avoir un seul chiffre non nul avant la virgule.
• Pour revenir à \(624000\), il faut multiplier \(6,24\) par \(100000\) (car \(6,24 \times 100000 = 624000\)).
• Sachant que \(100000 = 10^5\):

On a donc : \[ 624000 = 6,24 \cdot 10^5. \]

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6) \(3,25 = 3,25 \cdot 10^{\dots}\)

• Le nombre \(3,25\) est déjà sous la forme \(a\) avec \(1 \leq a < 10\).
• Pour écrire \(3,25\) en écriture scientifique sans changer sa valeur, on a simplement : \[ 3,25 = 3,25 \cdot 10^0, \] puisque toute multiplication par \(10^0\) ne change pas le nombre.

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Récapitulatif des réponses

1. \(3700 = 3,7 \cdot 10^3\)

2. \(120 = 1,2 \cdot 10^2\)

3. \(62,7 = 6,27 \cdot 10^1\)

4. \(428,7 = 4,287 \cdot 10^2\)

5. \(624000 = 6,24 \cdot 10^5\)

6. \(3,25 = 3,25 \cdot 10^0\)

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Chaque étape a consisté à :

1. Identifier le coefficient \(a\) en plaçant la virgule après le premier chiffre significatif.
2. Déterminer combien de positions la virgule a été déplacée pour retrouver le nombre initial, ce qui donne l’exposant \(n\).

Cette méthode permet de convertir systématiquement n’importe quel nombre en écriture scientifique.