Exercice 13

Exercice

Complétez le tableau ci-dessous et effectuez les calculs demandés.

Partie 1 : Tableau

	Notation scientifique	Écriture décimale
a)	\(2,73 \cdot 10^{4}\)
b)	\(1,05 \cdot 10^{3}\)	1050
c)		204000
d)	\(9,87 \cdot 10^{-3}\)	0,00987
e)
f)	\(4,5 \cdot 10^{7}\)	45000000
g)		0,00032
h)	\(2,31 \cdot 10^{-4}\)	0,000231
i)	\(7,6 \cdot 10^{5}\)
j)

Partie 2 : Calculs et compléments

1. Calculez ou complétez :

• 1. \(4^{3} = \quad\)
• 2. \(2^{4} + 2^{4} = \quad\)
• 3. \(5^{0} = \quad\)
• 4. \(\sqrt{625} = \quad\)
• 5. \(314 = 314\)
• 6. \(\sqrt[3]{\quad} = 7\)
• 7. \(-2^{3} = \quad\)
• 8. \((-5)^{2} = \quad\)

2. Exprimez sous la forme \(a^{n}\) :

• 1. \(\left(16^{3}\right)^{2} = \quad\)
• 2. \(10^{4} \cdot 10^{3} = \quad\)
• 3. \(\dfrac{9^{12}}{9^{4}} = \quad\)
• 4. \(2^{3} \cdot 5^{3} = \quad\)

3. Écrivez en notation scientifique :

• 1. \(67000000000 = \quad\)
• 2. \(0,0000045 = \quad\)

4. La lumière voyage à \(299\,792\) km par seconde. L’année-lumière correspond à la distance parcourue par la lumière en une année. Exprimez, en kilomètres, la distance d’une année-lumière.

Réponse

Réponses très synthétiques :

Partie 1 – Conversion : a) 2,73×10^4 = 27300
b) 1,05×10^3 = 1050
c) 204000 = 2,04×10^5
d) 9,87×10^–3 = 0,00987
e) Données indisponibles
f) 4,5×10^7 = 45000000
g) 0,00032 = 3,2×10^–4
h) 2,31×10^–4 = 0,000231
i) 7,6×10^5 = 760000
j) Données indisponibles

Partie 2 – Calculs et puissances : 1) a) 4³ = 64  b) 2⁴+2⁴ = 32  c) 5⁰ = 1  d) √625 = 25
  e) 314 = 314  f) ∛343 = 7  g) –2³ = –8  h) (–5)² = 25

2. 1. (16³)² = 16⁶  b) 10⁴×10³ = 10⁷  c) 9¹²/9⁴ = 9⁸  d) 2³×5³ = 10³
3. 1. 67000000000 = 6,7×10¹⁰  b) 0,0000045 = 4,5×10^–6
4. Une année-lumière ≈ 9,46×10¹² km.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Partie 1 : Compléter le tableau

Nous devons passer d’une écriture à l’autre.

1. Ligne a)
   • Notation scientifique : \(2,73 \cdot 10^{4}\)
   • Écriture décimale : Pour obtenir la valeur décimale, on déplace la virgule de 4 places vers la droite : \[ 2,73 \cdot 10^{4} = 27300 \]
2. Ligne b)
   • Notation scientifique : \(1,05 \cdot 10^{3}\)
   • Écriture décimale : Déjà donnée : 1050.
3. Ligne c)
   • Écriture décimale : 204000
     Pour écrire ce nombre en notation scientifique, on écrit le nombre sous la forme d’un nombre décimal entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.
     On remarque que : \[ 204000 = 2,04 \cdot 10^{5} \] Ainsi, on complète la case “Notation scientifique” par : \(2,04 \cdot 10^{5}\).
4. Ligne d)
   • Notation scientifique : \(9,87 \cdot 10^{-3}\)
   • Écriture décimale : Déjà donnée : 0,00987.
5. Ligne e)
   • Notation scientifique et Écriture décimale :
     Aucune information n’est donnée dans l’énoncé pour cette ligne.
     Remarque : Il n’est pas possible de compléter ces cases avec les données disponibles.
6. Ligne f)
   • Notation scientifique : \(4,5 \cdot 10^{7}\)
   • Écriture décimale : Déjà donnée : 45000000.
7. Ligne g)
   • Écriture décimale : 0,00032
     Pour convertir en notation scientifique, on écrit : \[ 0,00032 = 3,2 \cdot 10^{-4} \] Ainsi, on complète la case “Notation scientifique” par : \(3,2 \cdot 10^{-4}\).
8. Ligne h)
   • Notation scientifique : \(2,31 \cdot 10^{-4}\)
   • Écriture décimale : Déjà donnée : 0,000231.
9. Ligne i)
   • Notation scientifique : \(7,6 \cdot 10^{5}\)
   • Écriture décimale : Pour vérifier, on déplace la virgule 5 places vers la droite : \[ 7,6 \cdot 10^{5} = 760000 \] On complète donc la case “Écriture décimale” par 760000.
10. Ligne j)
    • Notation scientifique et Écriture décimale :
      Comme pour la ligne e), aucune information n’est fournie dans l’énoncé.
      Remarque : On ne peut pas compléter ces cases.

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Partie 2 : Calculs et compléments

1) Calculs divers

1. On calcule \(4^{3}\) :

• Le calcul consiste à multiplier 4 par lui-même trois fois : \[ 4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64 \]

2. On calcule \(2^{4}+2^{4}\) :

• D’abord, \(2^{4}=2 \times 2 \times 2 \times 2=16\).
  Donc, \[ 2^{4}+2^{4} = 16+16 = 32 \]

3. On calcule \(5^{0}\) :

• Par définition, pour tout nombre non nul, \[ 5^{0}=1. \]

4. On calcule \(\sqrt{625}\) :

• La racine carrée de 625 est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 625.
  Puisque \(25 \times 25=625\), on obtient : \[ \sqrt{625}=25. \]

5. L’égalité donnée est : \[ 314 = 314. \] (Ceci était simplement à recopier.)

6. On cherche le nombre dont la racine cubique vaut 7.
   

• Par définition, si \(\sqrt[3]{a}=7\), alors \(a=7^{3}\).
  Calculons : \[ 7^{3} = 7 \times 7 \times 7 = 343. \] Ainsi, \(\sqrt[3]{343}=7\).

7. On calcule \(-2^{3}\) :

• Attention à l’ordre des opérations : l’exposant s’applique uniquement à 2.
  On a \(2^{3}=8\) et le signe moins est appliqué après, donc : \[ -2^{3}=-\left(2^{3}\right)=-8. \]

8. On calcule \((-5)^{2}\) :

• Ici, le nombre -5 est entièrement élevé au carré : \[ (-5)^{2}=(-5) \times (-5)=25. \]

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2) Exprimer sous la forme \(a^{n}\)

1. On écrit \(\left(16^{3}\right)^{2}\) sous la forme \(a^{n}\) :

• On utilise la règle \((a^{m})^{n}=a^{m \times n}\) : \[ \left(16^{3}\right)^{2}=16^{3 \times 2}=16^{6}. \]

2. On écrit \(10^{4} \cdot 10^{3}\) :

• Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants : \[ 10^{4} \cdot 10^{3}=10^{4+3}=10^{7}. \]

3. On écrit \(\dfrac{9^{12}}{9^{4}}\) :

• Ici, en divisant des puissances de même base, on soustrait les exposants : \[ \frac{9^{12}}{9^{4}}=9^{12-4}=9^{8}. \]

4. On écrit \(2^{3} \cdot 5^{3}\) sous la forme \(a^{n}\) :

• On remarque que \(2^{3} \cdot 5^{3}=(2 \cdot 5)^{3}\) (car les exposants sont identiques) : \[ (2 \cdot 5)^{3}=10^{3}. \]

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3) Écrire en notation scientifique

1. Pour \(67000000000\) :

• On place la virgule après la première ou la première décimale non nulle.
  On écrit : \[ 67000000000=6,7 \cdot 10^{10}. \] Détail : En déplaçant la virgule 10 places vers la gauche on obtient 6,7.

2. Pour \(0,0000045\) :

• On écrit le nombre en déplaçant la virgule de façon à obtenir un nombre entre 1 et 10 : \[ 0,0000045=4,5 \cdot 10^{-6}. \] Détail : La virgule a été déplacée de 6 positions vers la droite.

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4) Distance d’une année-lumière

La vitesse de la lumière est donnée par : \[ 299\,792\ \text{km/s}. \] Pour connaître la distance parcourue en une année, il faut multiplier cette vitesse par le nombre de secondes dans une année.

Étape 1 : Calculer le nombre de secondes dans une année

On considère qu’une année comporte 365 jours (pour cet exercice).
- 1 jour \(=\) 24 heures,
- 1 heure \(=\) 3600 secondes.

Donc, le nombre de secondes dans une année est : \[ 365 \times 24 \times 3600 = 31\,536\,000\ \text{secondes}. \]

Étape 2 : Calculer la distance parcourue

On multiplie la vitesse par le temps : \[ \text{Distance} = 299\,792\ \text{km/s} \times 31\,536\,000\ \text{s}. \]

En effectuant cette multiplication, on obtient environ : \[ 299\,792 \times 31\,536\,000 \approx 9,46 \cdot 10^{12}\ \text{km}. \]

Conclusion :
La distance parcourue par la lumière en une année, c’est-à-dire la longueur d’une année-lumière, est d’environ
\[ 9,46 \cdot 10^{12}\ \text{km}. \]

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Voilà la correction complète et détaillée de l’exercice.