Exercice 12

Exercice : Conversion en notation scientifique

Écris en notation scientifique les nombres présents dans chacune des phrases suivantes :

La Voie lactée abrite environ \(150\,000\,000\,000\) étoiles.
Un volcan en activité décharge environ \(65\,000\,000\) kg de cendres lors d’une éruption.
Une usine produit approximativement \(22\,370\,880\) pièces par an.
L’âge moyen d’une étoile se situe autour de \(3,2\) milliards d’années.
La taille d’une bactérie est de \(0,000003\) m.
Le diamètre d’une particule de pollen est de \(0,085\) mm.
Le rayon d’un atome de sodium mesure \(0,00000000000045\) km.
La distance entre la Terre et la Lune est d’environ \(384\,000\) km.

Réponse

Voici la réponse résumée en notation scientifique :

1,5 × 10¹¹
6,5 × 10⁷
2,237088 × 10⁷
3,84 × 10⁵
3,2 × 10⁹
3 × 10⁻⁶
8,5 × 10⁻²
4,5 × 10⁻¹³

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice, avec une explication détaillée pour chacune des phrases.

Principe général

Pour écrire un nombre en notation scientifique, on le met sous la forme
\[ a \times 10^n \]
où \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leq a < 10\) et \(n\) est un entier indiquant de combien de positions la virgule doit être déplacée pour retrouver le nombre initial.

a) La Voie lactée abrite environ \(150\,000\,000\,000\) étoiles.

On écrit le nombre initial en déplaçant la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10. Ici, on écrit : \[ 150\,000\,000\,000 = 1,5 \times 10^{11}. \] Explication : La virgule est placée après le 1 pour obtenir \(1,5\). Comme on a déplacé la virgule de 11 positions vers la gauche, l’exposant est 11.

b) Un volcan en activité décharge environ \(65\,000\,000\) kg de cendres lors d’une éruption.

On convertit en déplaçant la virgule : \[ 65\,000\,000 = 6,5 \times 10^{7}. \] Explication : La virgule est placée après le 6 pour obtenir \(6,5\). Comme on a déplacé la virgule de 7 positions, l’exposant est 7.

c) Une usine produit approximativement \(22\,370\,880\) pièces par an.

Pour obtenir un nombre entre 1 et 10, on écrit : \[ 22\,370\,880 = 2,237088 \times 10^{7}. \] Explication : On place la virgule juste après le premier chiffre significatif (2) pour obtenir \(2,237088\). Le déplacement de la virgule se fait sur 7 positions, d’où l’exposant 7.

e) L’âge moyen d’une étoile se situe autour de \(3,2\) milliards d’années.

Sachant qu’un milliard vaut \(10^9\), on écrit : \[ 3,2 \text{ milliards} = 3,2 \times 10^{9}. \] Explication : Le nombre 3,2 reste inchangé et l’unité “milliards” se traduit par \(10^{9}\).

f) La taille d’une bactérie est de \(0,000003\) m.

On réécrit le nombre en notation scientifique : \[ 0,000003 = 3 \times 10^{-6}. \] Explication : On déplace la virgule 6 positions vers la droite pour obtenir 3. L’exposant est négatif car la valeur originale est inférieure à 1.

g) Le diamètre d’une particule de pollen est de \(0,085\) mm.

On met le nombre en forme scientifique : \[ 0,085 = 8,5 \times 10^{-2}. \] Explication : En déplaçant la virgule une fois vers la droite, on obtient 8,5. L’exposant est \(-2\) car la virgule a été déplacée de 2 positions (les deux premiers chiffres étaient à droite de la virgule initiale).

h) Le rayon d’un atome de sodium mesure \(0,00000000000045\) km.

Pour obtenir la forme scientifique, on écrit : \[ 0,00000000000045 = 4,5 \times 10^{-13}. \] Explication : La virgule est déplacée 13 positions vers la droite pour obtenir \(4,5\). L’exposant \(-13\) indique ce déplacement.

d) La distance entre la Terre et la Lune est d’environ \(384\,000\) km.

On écrit : \[ 384\,000 = 3,84 \times 10^{5}. \] Explication : On place la virgule après le 3 afin d’obtenir \(3,84\). La virgule a été déplacée 5 positions vers la gauche, ce qui donne l’exposant 5.

Récapitulatif des réponses en notation scientifique

1. \(150\,000\,000\,000 = 1,5 \times 10^{11}\)
1. \(65\,000\,000 = 6,5 \times 10^{7}\)
1. \(22\,370\,880 = 2,237088 \times 10^{7}\)
1. \(384\,000 = 3,84 \times 10^{5}\)
1. \(3,2\) milliards = \(3,2 \times 10^{9}\)
1. \(0,000003 = 3 \times 10^{-6}\)
1. \(0,085 = 8,5 \times 10^{-2}\)
1. \(0,00000000000045 = 4,5 \times 10^{-13}\)

Cette méthode permet de convertir n’importe quel nombre en notation scientifique en déplaçant la virgule et en ajustant l’exposant en conséquence.