Exercice 11

Question : Exercice

Exprime en écriture décimale le diamètre (en km) de chaque corps céleste figurant dans le tableau ci-dessous.

Classe les corps célestes par ordre croissant de taille.

Corps céleste	Diamètre (km) en forme scientifique	Diamètre (km) en écriture décimale
Étoile A	\(1,5 \cdot 10^6\)
Planète Alpha	\(5,120 \cdot 10^3\)
Planète Bêta	\(1,3103 \cdot 10^4\)
Planète Gamma	\(1,2800 \cdot 10^4\)
Planète Delta	\(7,100 \cdot 10^3\)
Géante X	\(1,350 \cdot 10^5\)
Géante Y	\(1,3 \cdot 10^5\)
Satellite Orbital	\(5,20 \cdot 10^4\)
Astéroïde O	\(4,800 \cdot 10^4\)
Comète C	\(2,5 \cdot 10^3\)
Lune S	\(3,600 \cdot 10^3\)

Exprime en mètres le diamètre de Planète Alpha et celui de Planète Bêta.
Explique en quoi l’écriture scientifique permet de constater que le diamètre de l’Étoile A est environ dix fois supérieur à celui des Géantes Y ou X.
Détermine approximativement combien de fois le diamètre de l’Étoile A est supérieur à celui de Planète Gamma.

Réponse

Réponse courte :

Conversion en nombres décimaux : – Étoile A : 1 500 000 km
– Planète Alpha : 5 120 km
– Planète Bêta : 13 103 km
– Planète Gamma : 12 800 km
– Planète Delta : 7 100 km
– Géante X : 135 000 km
– Géante Y : 130 000 km
– Satellite Orbital : 52 000 km
– Astéroïde O : 48 000 km
– Comète C : 2 500 km
– Lune S : 3 600 km
Classement par ordre croissant :
Comète C, Lune S, Planète Alpha, Planète Delta, Planète Gamma, Planète Bêta, Astéroïde O, Satellite Orbital, Géante Y, Géante X, Étoile A.
Conversion en mètres (exemple) :
Planète Alpha : 5 120 km = 5 120 000 m
Planète Bêta : 13 103 km = 13 103 000 m
Comparaison :
L’Étoile A (1,5·10⁶ km) est environ 10 fois plus grande que chaque Géante (~1,3·10⁵ km).
Ratio diamètre Étoile A / Planète Gamma ≈ (1,5/1,28)·10² ≈ 117.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice :

1. Exprimer en écriture décimale

Pour chaque corps céleste, il faut écrire l’expression scientifique sous la forme décimale. Rappel : \(a \cdot 10^n\) signifie que l’on multiplie \(a\) par \(10\) élevé à la puissance \(n\).

Étoile A :
\[ 1,5 \cdot 10^{6} = 1\,500\,000 \quad \text{(km)} \]
Planète Alpha :
\[ 5,120 \cdot 10^{3} = 5\,120 \quad \text{(km)} \]
Planète Bêta :
\[ 1,3103 \cdot 10^{4} = 13\,103 \quad \text{(km)} \]
Planète Gamma :
\[ 1,2800 \cdot 10^{4} = 12\,800 \quad \text{(km)} \]
Planète Delta :
\[ 7,100 \cdot 10^{3} = 7\,100 \quad \text{(km)} \]
Géante X :
\[ 1,350 \cdot 10^{5} = 135\,000 \quad \text{(km)} \]
Géante Y :
\[ 1,3 \cdot 10^{5} = 130\,000 \quad \text{(km)} \]
Satellite Orbital :
\[ 5,20 \cdot 10^{4} = 52\,000 \quad \text{(km)} \]
Astéroïde O :
\[ 4,800 \cdot 10^{4} = 48\,000 \quad \text{(km)} \]
Comète C :
\[ 2,5 \cdot 10^{3} = 2\,500 \quad \text{(km)} \]
Lune S :
\[ 3,600 \cdot 10^{3} = 3\,600 \quad \text{(km)} \]

2. Classement par ordre croissant de taille

Nous plaçons les corps célestes du plus petit au plus grand diamètre en km :

Comète C : \(2\,500\) km
Lune S : \(3\,600\) km
Planète Alpha : \(5\,120\) km
Planète Delta : \(7\,100\) km
Planète Gamma : \(12\,800\) km
Planète Bêta : \(13\,103\) km
Astéroïde O : \(48\,000\) km
Satellite Orbital : \(52\,000\) km
Géante Y : \(130\,000\) km
Géante X : \(135\,000\) km
Étoile A : \(1\,500\,000\) km

3. Exprimer en mètres

Pour convertir des kilomètres en mètres, on utilise le fait que \(1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m}\).

Pour Planète Alpha :
\[ 5\,120 \text{ km} = 5\,120 \times 1\,000 = 5\,120\,000 \text{ m} \]
Pour Planète Bêta :
\[ 13\,103 \text{ km} = 13\,103 \times 1\,000 = 13\,103\,000 \text{ m} \]

4. Comparaison entre l’Étoile A et les Géantes

L’écriture scientifique nous permet de comparer facilement les nombres en regardant l’exposant en base 10.

Étoile A : \(1,5 \cdot 10^{6}\)
Géante Y : \(1,3 \cdot 10^{5}\)
Géante X : \(1,350 \cdot 10^{5}\)

On remarque que pour l’Étoile A, l’exposant est \(6\) alors que pour les Géantes, il est \(5\). Cela signifie que les valeurs de l’Étoile A contiennent un facteur \(10^{6-5} = 10\) de plus que celles des Géantes (avant même de considérer les nombres situés avant le symbole \(\cdot\) ). Ainsi, même en prenant en compte les coefficients (1,5 pour l’Étoile A et environ 1,3 à 1,350 pour les Géantes), on peut constater que le diamètre de l’Étoile A est environ dix fois supérieur à celui de chacune des Géantes.

5. Comparaison entre l’Étoile A et Planète Gamma

Pour déterminer combien de fois le diamètre de l’Étoile A est supérieur à celui de Planète Gamma, nous calculons le ratio suivant :

\[ \text{Ratio} = \frac{\text{Diamètre de l'Étoile A}}{\text{Diamètre de Planète Gamma}} \]

En remplaçant par les valeurs en écriture scientifique :

\[ \text{Ratio} = \frac{1,5 \cdot 10^{6}}{1,2800 \cdot 10^{4}} \]

Pour faciliter le calcul, nous séparons la puissance de 10 :

\[ \text{Ratio} = \frac{1,5}{1,28} \times \frac{10^{6}}{10^{4}} = \frac{1,5}{1,28} \times 10^{2} \]

Calculons le coefficient :

\[ \frac{1,5}{1,28} \approx 1,1719 \]

Alors :

\[ \text{Ratio} \approx 1,17 \times 100 \approx 117 \]

Ainsi, le diamètre de l’Étoile A est environ \(117\) fois supérieur à celui de Planète Gamma.

Cette démarche détaillée permet de comprendre comment passer d’une écriture scientifique à une écriture décimale, comment comparer des nombres en écriture scientifique et comment effectuer des conversions d’unités.