Exercice 9

Exercice : Complète le tableau suivant présentant une liste croissante de nombres.

Écriture décimale	Nom	Produit de facteurs
0,003
		\(0,3 \times 0,1 \times 0,1\)
10	dix	\(2 \times 5\)
10000

Réponse

Les réponses sont les suivantes :

0,003 – « trois millièmes », 3×10⁻³ et 0,3×0,1×0,1
10 – « dix », 1×10¹ et 2×5
10 000 – « dix mille », 1×10⁴ et (2×5)⁴
100 000 – « cent mille », 1×10⁵ et (2×5)⁵
1 000 000 – « un million », 1×10⁶ et (2×5)⁶

Corrigé détaillé

On va compléter le tableau en proposant, pour chaque nombre, plusieurs manières de l’écrire. L’idée est de présenter une suite de nombres qui « augmente » lorsqu’on passe d’un groupe à l’autre. Dans la correction qui suit nous allons retenir cinq nombres dont deux lignes de représentations chacune. (Autrement dit, chaque nombre est présenté sous deux formes différentes dans le tableau final.)

Par exemple, on peut choisir la suite suivante (de la plus petite à la plus grande) :

0,003
10
10 000
100 000
1 000 000

Nous allons utiliser deux lignes pour chacune de ces valeurs. Certaines cases du tableau initial étaient déjà renseignées (en particulier pour le premier, le deuxième et le troisième nombre). Pour être cohérent avec le texte du tableau donné, nous respecterons les contenus fixes et nous complèterons les cases manquantes en donnant pour chaque nombre son écriture décimale, son nom, son écriture sous forme d’un produit de facteurs et sa forme en puissance de dix.

Remarque sur les différentes écritures utilisées :
- L’écriture décimale est la forme usuelle (par exemple « 0,003 » ou « 10000 »).
- Le « nom » du nombre est son expression en lettres (par exemple, « trois millièmes », « dix », « dix mille », « cent mille », « un million »).
- La colonne « Puissance de dix » permet d’écrire le nombre sous la forme \(a\times10^n\); rappelons que par exemple
\[ 0,003=3\times10^{-3}\quad\text{et}\quad 10=1\times10^1. \] - La colonne « Produit de facteurs » propose une décomposition « astucieuse » en facteurs décimaux ou en petits nombres. Pour 10 on utilisera par exemple \(2\times5\) et pour 10000 il est naturel d’écrire \((2\times5)^4\) puisque \(10^4=(2\times5)^4\).

Dans notre correction, nous allons répartir les cinq nombres sur dix lignes (chaque nombre est présenté sous deux formes différentes) en respectant les cases déjà données dans le tableau initial. Une proposition de complétion est la suivante :

Tableau complété

Rang	Écriture décimale	Nom	Puissance de dix	Produit de facteurs
1	0,003		\(3\times10^{-3}\)
2		trois millièmes		\(0,3\times0,1\times0,1\)
3			\(1\times10^{1}\)
4	10	dix		\(2\times5\)
5			\(1\times10^{4}\)
6	10000	dix mille		\((2\times5)^4\)
7	100000		\(1\times10^{5}\)
8		cent mille		\((2\times5)^5\)
9			\(1\times10^{6}\)
10	1000000	un million		\((2\times5)^6\)

Explications pas à pas

Première valeur : 0,003
- Écriture décimale : La case de la ligne 1 indique déjà « 0,003 ».
- Puissance de dix : On écrit \(0,003\) sous la forme \(3\times10^{-3}\) parce que déplacer la virgule de 3 positions vers la droite donne 3.
- Produit de facteurs : La ligne 2 vous propose l’expression \(0,3\times0,1\times0,1\). Vérifions :
  \[ 0,3\times0,1=0,03,\quad 0,03\times0,1=0,003. \]
- Nom : On écrit \(0,003\) en lettres en disant « trois millièmes ». Celle-ci est indiquée en case de la ligne 2.
Deuxième valeur : 10
Dans notre suite, nous passons directement à 10 (en choisissant cette valeur comme deuxième nombre).
- Écriture décimale et nom : La ligne 4 est déjà complétée avec « 10 » et « dix ».
- Produit de facteurs : On décompose 10 en \(2\times5\) (car \(2\times5=10\)).
- Puissance de dix : On peut écrire 10 sous forme de \(1\times10^1\). Cette écriture est proposée dans la case de la ligne 3 de ce même groupe.
Troisième valeur : 10000
C’est le troisième nombre de notre liste.
- Écriture décimale et nom : La ligne 6 est donnée avec « 10000 » et « dix mille ».
- Produit de facteurs : On rappelle que \(10^4=10000\) et comme \(10=2\times5\), on peut écrire
  \[ 10^4=(2\times5)^4. \]
- Puissance de dix : On donne la représentation \(1\times10^{4}\) dans la ligne 5.
Quatrième valeur : 100000
Pour continuer la liste croissante, nous choisissons 100 000.
- Écriture décimale : On écrit « 100000 » dans la ligne 7.
- Puissance de dix : On a \(100000=1\times10^5\).
- Nom : En lettres, on peut écrire « cent mille » (la case de la ligne 8).
- Produit de facteurs : De même que précédemment, on écrit
  \[ 100000=10^5=(2\times5)^5. \]
Cinquième valeur : 1 000 000
Enfin, le plus grand nombre de cette suite est 1 000 000.
- Puissance de dix : On écrit \(1\,000\,000=1\times10^6\) (ligne 9).
- Écriture décimale et nom : La ligne 10 indique « 1000000 » et « un million ».
- Produit de facteurs : Puisque \(10^6=(2\times5)^6\), on propose dans la dernière case l’écriture \((2\times5)^6\).

Comment a-t-on procédé ?

D’abord, on a choisi une suite de nombres qui augmente et qui offre différents modes d’écriture.
Pour chaque nombre, on a écrit son écriture décimale (la forme « classique »), son nom en lettres, son écriture sous forme de puissance de dix (ce qui montre le nombre de zéros ou la position de la virgule) et enfin une décomposition sous forme de produit de facteurs (pour rappeler que 10 se décompose en 2×5, donc \(10^n=(2\times5)^n\)).
Là où le tableau initial donnait déjà une information (par exemple la case « 0,3×0,1×0,1 » ou « 2×5 »), nous avons gardé ces expressions et nous avons complété les autres possibilités.

Cette proposition de tableau offre ainsi une présentation « transversale » d’un même nombre – en montrant que, par exemple, \(0,003\), « trois millièmes », \(3\times10^{-3}\) et \(0,3 \times 0,1 \times 0,1\) représentent bien le même nombre.

Voilà la correction complète qui permet de compléter le tableau.

N’hésitez pas à vérifier, en multipliant ou en déplaçant la virgule, que chacune des écritures est équivalente à la valeur correspondante.