Calculer le rapport entre le volume de Jupiter et la somme des volumes des autres astres répertoriés.
Les volumes des astres (en km³) sont donnés dans les tableaux suivants :
Tableau 1 : | Astre | Volume | |———————|——————————–| | Jupiter (\(\bigstar\))| \(1,250 \cdot 10^{15}\) | | Mercure (\(\triangle\))| \(4,500 \cdot 10^{10}\) | | Vénus (\(\circ\)) | \(9,100 \cdot 10^{11}\) | | Terre (\(\oplus\)) | \(1,0800 \cdot 10^{12}\) | | Mars (\(\Delta\)) | \(1,600 \cdot 10^{11}\) |
Tableau 2 : | Astre | Volume | |———————–|——————————-| | Saturne (\(\diamond\)) | \(8,200 \cdot 10^{14}\) | | Uranus (\(\ominus\)) | \(6,700 \cdot 10^{13}\) | | Neptune (\(\Psi\)) | \(6,200 \cdot 10^{13}\) | | Pluton (\(\mathrm{E}\)) | \(6,50 \cdot 10^{9}\) | | Cérès (\(\clubsuit\)) | \(9,400 \cdot 10^{8}\) |
R ≈ 1,32.
Nous souhaitons calculer le rapport
\[ R = \frac{V_{\text{Jupiter}}}{V_{\text{autres}}} \]
où \(V_{\text{Jupiter}}\) est le volume de Jupiter et \(V_{\text{autres}}\) est la somme des volumes des autres astres indiqués dans les deux tableaux.
D’après les tableaux, nous avons :
Nous avons les volumes : - Mercure : \(4,500 \times 10^{10}\) km³
- Vénus : \(9,100 \times 10^{11}\)
km³
- Terre : \(1,0800 \times 10^{12}\)
km³
- Mars : \(1,600 \times 10^{11}\)
km³
Pour faciliter la somme, nous pouvons les exprimer en fonction de \(10^{10}\) :
Ainsi, la somme est :
\[ V_{\text{Tab1}} = \bigl(4,500 + 91,00 + 108,00 + 16,00\bigr) \times 10^{10} \]
Calculons :
\[ 4,500 + 91,00 = 95,50,\quad 95,50 + 108,00 = 203,50,\quad 203,50 + 16,00 = 219,50 \]
Donc,
\[ V_{\text{Tab1}} = 219,50 \times 10^{10} = 2,1950 \times 10^{12}\quad \text{km}^3 \]
Les volumes sont :
Pour additionner, ramenons les volumes à une même puissance. Par exemple, exprimons tout en \(10^{14}\) :
Les deux derniers astres ont des volumes beaucoup plus petits. Pour les écrire en \(10^{14}\) :
La somme de Pluton et Cérès est donc :
\[ 0,0000650 + 0,0000094 = 0,0000744 \quad (\text{en }10^{14}) \]
Ainsi, la somme des volumes du Tableau 2 est :
\[ V_{\text{Tab2}} = \bigl(8,200 + 0,6700 + 0,6200 + 0,0000744\bigr) \times 10^{14} \]
Calculons :
\[ 8,200 + 0,6700 = 8,8700,\quad 8,8700 + 0,6200 = 9,4900,\quad 9,4900 + 0,0000744 \approx 9,4901 \]
On peut donc écrire :
\[ V_{\text{Tab2}} \approx 9,4901 \times 10^{14}\quad \text{km}^3 \]
Il faut additionner la somme du Tableau 1 et celle du Tableau 2. Pour cela, ramenons \(V_{\text{Tab1}}\) en \(10^{14}\).
Nous avons :
\[ V_{\text{Tab1}} = 2,1950 \times 10^{12} = 0,02195 \times 10^{14}\quad \text{(car }10^{12} = 10^{14} \div 10^2\text{)} \]
La somme totale est donc :
\[ V_{\text{autres}} = V_{\text{Tab1}} + V_{\text{Tab2}} = \bigl(0,02195 + 9,4901\bigr) \times 10^{14} \]
\[ V_{\text{autres}} \approx 9,51205 \times 10^{14}\quad \text{km}^3 \]
On arrondira à :
\[ V_{\text{autres}} \approx 9,51 \times 10^{14}\quad \text{km}^3 \]
Nous avons :
\[ V_{\text{Jupiter}} = 1,250 \times 10^{15}\quad \text{km}^3 \] \[ V_{\text{autres}} \approx 9,51 \times 10^{14}\quad \text{km}^3 \]
Le rapport est donc :
\[ R = \frac{1,250 \times 10^{15}}{9,51 \times 10^{14}} \]
Pour simplifier, on peut écrire :
\[ R = \frac{1,250}{9,51} \times 10^{15-14} = \frac{1,250}{9,51} \times 10 \]
Calculons le quotient :
\[ \frac{1,250}{9,51} \approx 0,1315 \]
Ainsi,
\[ R \approx 0,1315 \times 10 = 1,315 \]
Le rapport entre le volume de Jupiter et la somme des volumes des autres astres est donc d’environ :
\[ R \approx 1,32 \]
Cela signifie que Jupiter a environ 1,32 fois le volume total des autres astres répertoriés dans les tableaux.