Exercice 7

Exercice

À Ségou, au Mali, on exploite un important gisement de phosphate. Les données sont les suivantes :

• La production annuelle est de 120 millions de tonnes.
• Les réserves sont estimées à 4,8 milliards de tonnes.

1. Exprimez ces valeurs en notation scientifique.
   
2. Déterminez pendant combien d’années on pourra exploiter ce gisement au même rythme.

Réponse

Production annuelle : 1,2 × 10⁸ tonnes
Réserves : 4,8 × 10⁹ tonnes
Le gisement sera exploitable pendant 40 ans.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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Énoncé :

On sait que : - La production annuelle est de 120 millions de tonnes. - Les réserves sont estimées à 4,8 milliards de tonnes.

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Partie a) Exprimer ces valeurs en notation scientifique

1. Pour la production annuelle :

• 120 millions de tonnes signifie : \[ 120\,000\,000 \]

• Pour écrire ce nombre en notation scientifique, on cherche à écrire ce nombre sous la forme : \[ a \times 10^n \quad \text{où } 1 \le a < 10 \text{ et } n \text{ est un entier.} \]

• On écrit 120 000 000 comme : \[ 1,2 \times 10^8 \] Explication :
  Le nombre 1,2 est ici le mantisse et parce que 120 000 000 s’écrit 1,2 multiplié par 10 élevé à la puissance 8.

2. Pour les réserves :

• 4,8 milliards de tonnes signifie : \[ 4\,800\,000\,000 \]

• En écriture scientifique, on a : \[ 4,8 \times 10^9 \] Explication :
  Le nombre 4,8 multiplié par \(10^9\) représente bien 4 800 000 000.

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Partie b) Durée d’exploitation du gisement

Question : Combien d’années peut-on exploiter ce gisement si l’on extrait 120 millions de tonnes chaque année ?

Démarche de calcul :

On va diviser les réserves totales par la production annuelle :

\[ \text{Nombre d'années} = \frac{\text{Réserves}}{\text{Production annuelle}} \]

En remplaçant avec les valeurs en notation scientifique :

\[ \text{Nombre d'années} = \frac{4,8 \times 10^9}{1,2 \times 10^8} \]

Étape 1 : Diviser les coefficients

\[ \frac{4,8}{1,2} = 4 \]

Étape 2 : Diviser les puissances de 10

\[ \frac{10^9}{10^8} = 10^{9-8} = 10^1 = 10 \]

Étape 3 : Multiplier les résultats obtenus

\[ \text{Nombre d'années} = 4 \times 10 = 40 \]

Conclusion :
Le gisement pourra être exploité pendant 40 ans si l’extraction se fait à un rythme constant de 120 millions de tonnes par an.

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Résumé de la solution

• a)
  • Production annuelle : \(1,2 \times 10^8\) tonnes
    
  • Réserves : \(4,8 \times 10^9\) tonnes
• b)
  Le gisement sera exploitable pendant 40 ans.

Cette correction permet de comprendre comment passer d’un nombre écrit en entier à sa forme en notation scientifique et comment utiliser cette écriture pour effectuer des divisions simples en séparant la mantisse et les puissances de 10.